\left(\mathbf{1}, \mathbf{0}\right. ponto) Calcule o pH das seguintes soluções (Dados: \mathrm{K}_{\mathrm{w}}=1,0 \times 10^{-14} ):
Acetato de sódio \left(\mathrm{NaCH}_{3} \mathrm{COO}\right), 0,05 molL ^{-1}. Dados: \mathrm{K}_{2}\left(\mathrm{HCH}_{3} \mathrm{COO}\right)=1,8 \times 10^{-5}

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução de acetato de sódio, com os seguintes dados fornecidos:
\text{espécie: NaCH}_3\text{COO (acetato de sódio)},\quad \text{concentração }=0,05\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.éóçã
Dados fornecidos no enunciado (vou usar exatamente como dados):
K_w = 1,0\times10^{-14},\qquad K_a(\text{HCH}_3\text{COO}) = 1,8\times10^{-5}.
O que precisamos encontrar: o valor numérico do \mathrm{pH} da solução.

Passo 2

Entendendo o que acontece na solução (passo a passo didático):
  • O sal \text{NaCH}_3\text{COO} é formado por \text{Na}^+ (cátion forte, não participa) e o ânion acetato \text{CH}_3\text{COO}^-. Ao dissolver, o sal se dissocia totalmente, então a concentração inicial do íon acetato é
[\text{CH}_3\text{COO}^-]_0 = 0,05\\ \text{mol L}^{-1}.
  • O acetato é a base conjugada do ácido acético \text{HCH}_3\text{COO}. Em água ocorre hidrólise (reação com água) que gera \text{OH}^-:
\text{CH}_3\text{COO}^- + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{HCH}_3\text{COO} + \text{OH}^- .
  • Para quantificar quanto \text{OH}^- aparece, usamos a constante de basicidade K_b do acetato. Não foi dada diretamente, mas sabemos relacionar K_b com K_a (do ácido conjugado) e K_w.

Passo 3

Relação entre K_a, K_b e K_w (aula curta):
  • Para um par ácido/base conjugada vale a identidade
K_a\cdot K_b = K_w.
Aqui K_a é do ácido acético (dado) e K_w também é dado. Logo
K_b = \frac{K_w}{K_a}.
Substituindo números (usando os dados do enunciado):
K_b = \frac{1,0\times10^{-14}}{1,8\times10^{-5}}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{1,0}{1,8}=0,555\ldots\quad\text{e}\quad 10^{-14}/10^{-5}=10^{-9},
então
K_b \approx 0,555\ldots\times10^{-9}=5,56\times10^{-10}.

Passo 4

Montando a expressão de equilíbrio e a aproximação prática:
  • Chamo de x a concentração de \text{OH}^- formada pela hidrólise. A tabela de concentrações (inicial, variação, equilíbrio) para a reação
\text{CH}_3\text{COO}^- + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{HCH}_3\text{COO} + \text{OH}^-
é:
\begin{array}{lcl} [\text{CH}_3\text{COO}^-] &:& 0,05 - x\\\ [\text{HCH}_3\text{COO}] &:& 0 + x\\\ [\text{OH}^-] &:& 0 + x \\ (\text{desprezando a contribuição ínfima da água}) \end{array}çãíá
  • A constante de basicidade é
K_b = \frac{[\text{HCH}_3\text{COO}][\text{OH}^-]}{[\text{CH}_3\text{COO}^-]} = \frac{x\cdot x}{0,05 - x} = \frac{x^2}{0,05 - x}.
  • Como normalmente a hidrólise de uma base conjugada fraca é pequena, usamos a aproximação x\ll0,05, então 0,05 - x \approx 0,05. Assim
x \approx \sqrt{K_b\cdot 0,05}.
(Essa aproximação é muito comum e válida quando a fração reagida é pequena; depois vamos checar se foi válida.)

Passo 5

Cálculo numérico de [\text{OH}^-]:
  • Primeiro o produto
K_b\cdot 0,05 = 5,56\times10^{-10}\times 0,05 = 2,78\times10^{-11}.
  • Tomando a raiz quadrada:
x = [\text{OH}^-] \approx \sqrt{2,78\times10^{-11}} \approx 5,27\times10^{-6}\\ \text{mol L}^{-1}.
Expliquei: usei a propriedade \sqrt{a\times10^{n}}=\sqrt{a}\times10^{n/2} para facilitar as contas à mão.

Passo 6

Passando de [\text{OH}^-] para \mathrm{pH}:
  • Primeiro calculo o \mathrm{pOH}:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}[\text{OH}^-] = -\log_{10}\left(5,27\times10^{-6}\right).
Uma conta rápida de log: \log_{10}(5,27)\approx0,7226, então
\log_{10}\left(5,27\times10^{-6}\right)=0,7226-6=-5,2774,
portanto
\mathrm{pOH}\approx 5,2774\approx 5,28.
  • Usando pK_w = -\log_{10}K_w. Como K_w=1,0\times10^{-14}, temos pK_w=14,00. A relação entre pH e pOH é
\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = pK_w = 14,00.
Logo
\mathrm{pH} = 14,00 - \mathrm{pOH} \approx 14,00 - 5,2774 = 8,7226 \approx 8,72.

Passo 7

Verificação da validade da aproximação x\ll 0,05:
\frac{x}{0,05} = \frac{5,27\times10^{-6}}{0,05} = 1,054\times10^{-4} = 0,01054\%,
ou seja, a variação é extremamente pequena, então a aproximação 0,05-x\approx0,05 é perfeitamente válida.

Passo 8

Observação final de método (se for útil para a prova):
  • Se quiser evitar a aproximação, resolve-se a equação quadrática
x^2 + K_b x - 0,05 K_b = 0
pela fórmula de Bhaskara; para este problema a solução numérica dá praticamente o mesmo x (diferença insignificante), então a forma com raiz quadrada é a mais prática para prova quando K_b é pequeno.

Resposta

\mathrm{pH}=8,72

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