\left(\mathbf{1}, \mathbf{0}\right. ponto) Calcule o pH das seguintes soluções (Dados: \mathrm{K}_{\mathrm{w}}=1,0 \times 10^{-14} ):
Ácido nitroso \left(\mathrm{HNO}_{2}\right), 1,0 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Dados \mathrm{K}_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{HNO}_{2}\right)=5,1 \times 10^{-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o pH de uma solução de ácido nitroso com concentração inicial 1,0\\ \mathrm{mol/L}. As informações dadas são:
\text{ácido: } \mathrm{HNO}_2,\quad [\mathrm{HNO}_2]_0 = 1,0\\ \mathrm{mol/L},á
K_a(\mathrm{HNO}_2)=5,1\times 10^{-4},
K_w=1,0\times 10^{-14}.
A pergunta concreta: qual é o valor do \mathrm{pH} dessa solução?

Passo 2

Escrevendo a reação de dissociação e definindo incógnitas:
\mathrm{HNO}_2 \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{NO}_2^-.
Vou chamar de x a concentração de \mathrm{H}^+ originada pela dissociação do ácido. As concentrações no equilíbrio ficam:
[\mathrm{HNO}_2]=1,0-x,\qquad [\mathrm{H}^+]=x,\qquad [\mathrm{NO}_2^-]=x.
A constante de acidez é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{NO}_2^-]}{[\mathrm{HNO}_2]}.
Substituindo as concentrações do equilíbrio obtemos a equação que relaciona x com K_a:
K_a=\frac{x^2}{1,0-x}.

Passo 3

Método prático usado em provas: verificar se podemos aproximar 1,0-x\approx1,0. Essa aproximação vale quando x é pequeno comparado à concentração inicial (regra prática: se x/[ \text{inicial} ]<5\% a aproximação é aceitável). Com a aproximação:
K_a\approx x^2 \quad\Rightarrow\quad x\approx\sqrt{K_a\cdot[{\text{ácido}}]_0}.á
Aqui [{\text{ácido}}]_0=1,0á, logo
x\approx\sqrt{K_a}=\sqrt{5,1\times 10^{-4}}.
Calculando a raiz:
x\approx 0,02258\\ \mathrm{mol/L}.
O \mathrm{pH} é \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+], portanto usando a aproximação:
\mathrm{pH}\approx -\log_{10}(0,02258)\approx 1,65.

Passo 4

Verificação da validade da aproximação: a fração dissociada é
\frac{x}{1,0}\times 100\%\approx 2,26\%,
que é menor que 5\%. Logo a aproximação 1,0-x\approx1,0 é válida. Também podemos comparar com a contribuição da água: [\mathrm{H}^+]_{\text{água}}=\sqrt{K_w}=1,0\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}á, que é muito menor que x (ordem 10^{-2}), então a autoionização da água é desprezível aqui.

Passo 5

Se quisermos mais precisão (sem aproximação), resolvemos a equação exata. Partindo de
K_a=\frac{x^2}{1,0-x}\quad\Rightarrow\quad x^2+K_a x - K_a = 0.
Usando a fórmula quadrática:
x=\frac{-K_a+\sqrt{K_a^2+4K_a}}{2}.
Substituindo K_a=5,1\times 10^{-4}:
x=\frac{-5,1\times 10^{-4}+\sqrt{(5,1\times 10^{-4})^2+4(5,1\times 10^{-4})}}{2}\approx 0,02233\\ \mathrm{mol/L}.
Com esse valor exato,
\mathrm{pH}=-\log_{10}(0,02233)\approx 1,65.
A diferença entre a aproximação e a solução exata é mínima; portanto usar 1,65 como resposta é correto na prática de prova.

Resposta

\mathrm{pH}\approx 1,65

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