\left(\mathbf{1 , 0}\right. ponto) Considere a função f(x)=\frac{1}{x+5}. Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(4).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x+5} e pede que eu calcule f'(4) usando a definição de derivada.
Informações relevantes que já tenho do enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x+5}.
  • Quero a derivada de f no ponto x=4.
  • Devo usar a definição de derivada (limite do quociente de diferenças).

Passo 2

Vou escrever a definição de derivada no ponto a. A definição é:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando: aqui a é o ponto onde queremos a derivada (no nosso caso a=4), h é um número que tende a zero e o quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} mede a variação média da função numa vizinhança de a. Se o limite existir, ele é a derivada, que representa a taxa de variação instantânea.

Passo 3

Calculo f(4), que é necessário para montar o quociente de diferenças:
f(4)=\frac{1}{4+5}=\frac{1}{9}.
Aqui apenas substituí x=4 na expressão de f.

Passo 4

Agora calculo f(4+h), substituindo x=4+h em f(x):
f(4+h)=\frac{1}{(4+h)+5}=\frac{1}{9+h}.
É a mesma ideia: substituir e simplificar.

Passo 5

Formo o numerador do quociente de diferenças f(4+h)-f(4):
f(4+h)-f(4)=\frac{1}{9+h}-\frac{1}{9}.
Para somar/subtrair frações eu uso o denominador comum 9(9+h). Então:
\frac{1}{9+h}-\frac{1}{9}=\frac{9-(9+h)}{9(9+h)}=\frac{-h}{9(9+h)}.
Expliquei cada passo: coloquei frações sobre o mesmo denominador e simplifyei o numerador.

Passo 6

Agora coloco isso no quociente de diferenças e divido por h:
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{\displaystyle\frac{-h}{9(9+h)}}{h}.
Uma divisão por h é o mesmo que multiplicar por 1/h, então:
\frac{\displaystyle\frac{-h}{9(9+h)}}{h}=\frac{-h}{9(9+h)}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-1}{9(9+h)},
onde cancelei h porque estamos considerando h\neq 0 dentro do quociente (o limite é tomado quando h\to 0, mas o quociente é avaliado para h diferentes de zero).

Passo 7

Agora faço o limite quando h\to 0:
f'(4)=\lim_{h\to 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\lim_{h\to 0}\left(-\frac{1}{9(9+h)}\right).
Como a função -\dfrac{1}{9(9+h)} é contínua em h=0, posso simplesmente substituir h=0 no resultado:
f'(4)=-\frac{1}{9(9+0)}=-\frac{1}{9\cdot 9}=-\frac{1}{81}.
Isso termina o cálculo pelo limite.

Passo 8

Breve verificação (opcional, só para ganhar confiança): se eu lembrasse a regra de derivada para \dfrac{1}{x+5}=(x+5)^{-1}, a derivada geral seria -1\cdot(x+5)^{-2}=-\dfrac{1}{(x+5)^2}. Avaliando em x=4 -\dfrac{1}{9^2}=-\dfrac{1}{81}, que bate com o resultado obtido pela definição — ótimo sinal de que está correto.

Resposta

-\dfrac{1}{81}

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