ponto) Considere a função
. Usando a definição de derivada, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu calcule
usando a definição de derivada.
Informações relevantes que já tenho do enunciado:
Informações relevantes que já tenho do enunciado:
- A função é
. - Quero a derivada de
no ponto . - Devo usar a definição de derivada (limite do quociente de diferenças).
Passo 2
Vou escrever a definição de derivada no ponto
. A definição é:
Explicando: aqui
é o ponto onde queremos a derivada (no nosso caso
),
é um número que tende a zero e o quociente
mede a variação média da função numa vizinhança de
. Se o limite existir, ele é a derivada, que representa a taxa de variação instantânea.
Passo 3
Calculo
, que é necessário para montar o quociente de diferenças:
Aqui apenas substituí
na expressão de
.
Passo 4
Agora calculo
, substituindo
em
:
É a mesma ideia: substituir e simplificar.
Passo 5
Formo o numerador do quociente de diferenças
:
Para somar/subtrair frações eu uso o denominador comum
. Então:
Expliquei cada passo: coloquei frações sobre o mesmo denominador e simplifyei o numerador.
Passo 6
Agora coloco isso no quociente de diferenças e divido por
:
Uma divisão por
é o mesmo que multiplicar por
, então:
onde cancelei
porque estamos considerando
dentro do quociente (o limite é tomado quando
, mas o quociente é avaliado para
diferentes de zero).
Passo 7
Agora faço o limite quando
:
Como a função
é contínua em
, posso simplesmente substituir
no resultado:
Isso termina o cálculo pelo limite.
Passo 8
Breve verificação (opcional, só para ganhar confiança): se eu lembrasse a regra de derivada para
, a derivada geral seria
. Avaliando em
dá
, que bate com o resultado obtido pela definição — ótimo sinal de que está correto.