( \mathbf{2 , 0} pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva (6 x y+1)^{2}=e^{y^{3}-1} no ponto (0,1). Escreva a resposta na forma y=a x+b.

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a equação da reta tangente à curva (6xy+1)^{2}=e^{y^{3}-1} no ponto (0,1)". Informações dadas e o que é pedido:
  • A curva é definida implicitamente pela equação (6xy+1)^{2}=e^{y^{3}-1}.
  • O ponto onde queremos a tangente é (0,1).
  • Precisamos dar a equação da reta na forma y=ax+b, ou seja, encontrar o coeficiente angular a (derivada dy/dx no ponto) e o coeficiente linear b tal que a reta passe por (0,1).

Passo 2

Antes de derivar, verifico que o ponto dado realmente pertence à curva (boa prática para não perder ponto na prova). Substituo x=0 e y=1 na equação da curva:
(6\cdot 0\cdot 1 + 1)^{2} = 1^{2} = 1
e^{1^{3}-1} = e^{0} = 1
Como ambos os lados valem 1, o ponto (0,1) pertence à curva. Ótimo — podemos achar a tangente aí.

Passo 3

Agora vamos obter dy/dx por diferenciação implícita. A ideia da diferenciação implícita é derivar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x (então quando derivamos termos com y aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por dy/dx). Escrevo a equação e aplico derivada em cada lado:
(6xy+1)^{2}=e^{y^{3}-1}.
Derivo o lado esquerdo usando a regra da cadeia: se u(x)=6xy+1, então a derivada de u^{2} é 2u\cdot u'. Aqui u'=d(6xy+1)/dx. Derivo o lado direito também pela regra da cadeia: derivada de e^{v} é e^{v}\cdot v', com v=y^{3}-1.

Passo 4

Calculo passo a passo as derivadas auxiliares.
  • Derivada de 6xy+1 em relação a x: use regra do produto em 6xy (constante 6 vezes x\cdot y(x)):
\frac{d}{dx}(6xy)=6\frac{d}{dx}(x y)=6\big(y + x\frac{dy}{dx}\big).
Portanto
\frac{d}{dx}(6xy+1)=6\big(y + x\frac{dy}{dx}\big).
  • Derivada de y^{3}-1 em relação a x (regra da cadeia):
\frac{d}{dx}(y^{3}-1)=3y^{2}\frac{dy}{dx}.
Agora aplico essas derivadas na expressão diferenciada:
\frac{d}{dx}\big((6xy+1)^{2}\big)=2(6xy+1)\cdot 6\big(y + x\frac{dy}{dx}\big)
e
\frac{d}{dx}\big(e^{y^{3}-1}\big)=e^{y^{3}-1}\cdot 3y^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Simplifico os coeficientes:
2(6xy+1)\cdot 6\big(y + x\frac{dy}{dx}\big)=12(6xy+1)\big(y + x\frac{dy}{dx}\big)
e o outro lado é
3y^{2}e^{y^{3}-1}\frac{dy}{dx}.
Igualando as duas derivações obtenho a relação implícita entre x, y e \dfrac{dy}{dx}:
12(6xy+1)\big(y + x\frac{dy}{dx}\big)=3y^{2}e^{y^{3}-1}\frac{dy}{dx}.

Passo 6

Agora isolo \dfrac{dy}{dx}. Primeiro desenvolvo o parêntese do lado esquerdo:
12(6xy+1)y + 12(6xy+1)x\frac{dy}{dx}=3y^{2}e^{y^{3}-1}\frac{dy}{dx}.
Coloco todos os termos com \dfrac{dy}{dx} no mesmo lado:
12(6xy+1)y = \Big(3y^{2}e^{y^{3}-1} - 12(6xy+1)x\Big)\frac{dy}{dx}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{12(6xy+1)y}{3y^{2}e^{y^{3}-1} - 12(6xy+1)x}.

Passo 7

Agora avalio essa fórmula no ponto (0,1). Substituo x=0 e y=1. Primeiro calculo os termos que aparecem:
6xy+1 = 6\cdot 0\cdot 1 + 1 = 1,
e^{y^{3}-1}=e^{1-1}=e^{0}=1,
y^{2}=1^{2}=1.
Substituindo na expressão de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\Big|_{(0,1)}=\frac{12\cdot 1 \cdot 1}{3\cdot 1\cdot 1 - 12\cdot 1\cdot 0}=\frac{12}{3-0}=\frac{12}{3}=4.
Logo o coeficiente angular da tangente no ponto é a=4.

Passo 8

Como a reta deve passar por (0,1), o coeficiente linear b é simplesmente o valor de y quando x=0. Assim b=1. Portanto a equação da reta na forma pedida é
y=4x+1.

Resposta

y=4x+1

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