( \mathbf{2 , 0} pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva (6 x y+1)^{2}=e^{y^{3}-1} no ponto (0,1). Escreva a resposta na forma y=a x+b.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a equação da reta tangente à curva (6xy+1)^{2}=e^{y^{3}-1} no ponto (0,1)". Informações dadas e o que é pedido:
A curva é definida implicitamente pela equação (6xy+1)^{2}=e^{y^{3}-1}.
O ponto onde queremos a tangente é (0,1).
Precisamos dar a equação da reta na forma y=ax+b, ou seja, encontrar o coeficiente angular a (derivada dy/dx no ponto) e o coeficiente linear b tal que a reta passe por (0,1).
Passo 2
Antes de derivar, verifico que o ponto dado realmente pertence à curva (boa prática para não perder ponto na prova). Substituo x=0 e y=1 na equação da curva:
(6\cdot 0\cdot 1 + 1)^{2} = 1^{2} = 1
e^{1^{3}-1} = e^{0} = 1
Como ambos os lados valem 1, o ponto (0,1) pertence à curva. Ótimo — podemos achar a tangente aí.
Passo 3
Agora vamos obter dy/dx por diferenciação implícita. A ideia da diferenciação implícita é derivar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x (então quando derivamos termos com y aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por dy/dx). Escrevo a equação e aplico derivada em cada lado:
(6xy+1)^{2}=e^{y^{3}-1}.
Derivo o lado esquerdo usando a regra da cadeia: se u(x)=6xy+1, então a derivada de u^{2} é 2u\cdot u'. Aqui u'=d(6xy+1)/dx. Derivo o lado direito também pela regra da cadeia: derivada de e^{v} é e^{v}\cdot v', com v=y^{3}-1.
Passo 4
Calculo passo a passo as derivadas auxiliares.
Derivada de 6xy+1 em relação a x: use regra do produto em 6xy (constante 6 vezes x\cdot y(x)):
Logo o coeficiente angular da tangente no ponto é a=4.
Passo 8
Como a reta deve passar por (0,1), o coeficiente linear b é simplesmente o valor de y quando x=0. Assim b=1. Portanto a equação da reta na forma pedida é