\left(\mathbf{1}, \mathbf{0}\right. ponto) Determine g^{(50)}(1), sabendo que g(x)=\frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de g^{(50)}(1), sabendo que g(x)=\frac{1}{x} e que o ponto de interesse é x=1.
Informações dadas:
g(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}
O que devemos encontrar:
g^{(50)}(1)

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas para perceber um padrão. Escrevo g(x)=x^{-1} e diferencio repetidas vezes:
g(x)=x^{-1}
g'(x) = -1\cdot x^{-2}
g''(x) = -1\cdot(-2)\cdot x^{-3}=2\cdot x^{-3}
g^{(3)}(x) = 2\cdot(-3)\cdot x^{-4}=-6\cdot x^{-4}
Aqui vemos os fatores 1, -1, 2, -6,\dots que correspondem a 0!, -1!, 2!, -3!,\dots com sinais alternados. Isso indica uma regra geral envolvendo fatoriais e potências de x.

Passo 3

Conjecturamos a fórmula geral para a n-ésima derivada: para todo inteiro n\ge 0,
g^{(n)}(x)=(-1)^n n!\,x^{-n-1}.
Explicando a fórmula:
  • n é o número da derivada (por exemplo, n=0 corresponde à função original).
  • n! (fatorial de n) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n (com 0!=1).
  • O fator (-1)^n dá a alternância de sinais que vimos nas primeiras derivadas.
  • A potência x^{-n-1} aparece por aplicação repetida da regra do poder: a derivada de x^k é k x^{k-1}.

Passo 4

Agora fazemos uma demonstração por indução para justificar rigorosamente a fórmula.
Base ( n=0): g^{(0)}(x)=g(x)=x^{-1}=(-1)^0 0!\,x^{-0-1},
logo a fórmula vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que a fórmula valha para algum n\ge0, isto é,
g^{(n)}(x)=(-1)^n n!\,x^{-n-1}.
Então a derivada dessa expressão é
g^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\!\big[(-1)^n n!\,x^{-n-1}\big]=(-1)^n n!\,(-n-1)\,x^{-n-2}.
Agrupando fatores:
(-1)^n n!(-n-1)=(-1)^{n+1}(n+1)n!=(-1)^{n+1}(n+1)!.
Portanto
g^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}(n+1)!\,x^{-(n+1)-1},
que é exatamente a fórmula com n substituído por n+1. Assim, por indução, a fórmula é verdadeira para todo n\ge0.

Passo 5

Aplicamos a fórmula para n=50. Primeiro escrevemos a derivada geral e simplificamos o sinal:
g^{(50)}(x)=(-1)^{50}50!\,x^{-51}=50!\,x^{-51},
porque (-1)^{50}=1.
Agora avaliamos em x=1:
g^{(50)}(1)=50!\cdot 1^{-51}=50!\cdot 1=50!.
Observação didática rápida: 1 à qualquer potência é 1, por isso 1^{-51}=1. E não precisamos calcular o valor numérico enorme de 50! na prova, basta deixar em forma de fatorial.

Resposta

50!

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