ponto) Determine
, sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
, sabendo que
e que o ponto de interesse é
.
Informações dadas:
O que devemos encontrar:
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas para perceber um padrão. Escrevo
e diferencio repetidas vezes:
Aqui vemos os fatores
que correspondem a
com sinais alternados. Isso indica uma regra geral envolvendo fatoriais e potências de
.
Passo 3
Conjecturamos a fórmula geral para a
-ésima derivada: para todo inteiro
,
Explicando a fórmula:
-
é o número da derivada (por exemplo, corresponde à função original). -
(fatorial de ) é o produto (com ). - O fator
dá a alternância de sinais que vimos nas primeiras derivadas. - A potência
aparece por aplicação repetida da regra do poder: a derivada de é .
Passo 4
Agora fazemos uma demonstração por indução para justificar rigorosamente a fórmula.
Base (
):
logo a fórmula vale para
.
Passo indutivo: suponha que a fórmula valha para algum
, isto é,
Então a derivada dessa expressão é
Agrupando fatores:
Portanto
que é exatamente a fórmula com
substituído por
. Assim, por indução, a fórmula é verdadeira para todo
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula para
. Primeiro escrevemos a derivada geral e simplificamos o sinal:
porque
.
Agora avaliamos em
:
Observação didática rápida:
à qualquer potência é
, por isso
. E não precisamos calcular o valor numérico enorme de
na prova, basta deixar em forma de fatorial.