Se \left(a_{n}\right) é uma sucessão convergente tal que a_{n} \neq 0 para todo n e \lim a_{n} \neq 0, mostre que existe \delta>0 tal que \left|a_{n}\right|>\delta para todo n. Use esse resultado para demonstrar a Propriedade 4 acima.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
A sequência \left(a_{n}\right) converge; seja \lim a_{n}=L.
Tem-se a_{n}\neq 0 para todo n e \lim a_{n}=L\neq 0.
O que é pedido:
Mostrar que existe \delta>0 tal que \left|a_{n}\right|>\delta para todo n.
Usar esse resultado para demonstrar a Propriedade 4 (aqui interpretada como: se \left(a_{n}\right) converge para L\neq 0 e a_{n}\neq 0 para todo n, então \dfrac{1}{a_{n}}\to\dfrac{1}{L}).
Passo 2
Começo provando a existência de \delta>0.
Seja L=\lim a_{n} com L\neq 0. Tome
\varepsilon_{0}=\frac{|L|}{2}>0.
Pela definição de limite (convergência), existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_{n}-L|<\varepsilon_{0}=\frac{|L|}{2}.
Passo 3
Usando a desigualdade triangular reversa (ou desigualdade triangular simples em forma rearranjada), para n\ge N temos
Como |a_{n}-L|<\dfrac{|L|}{2}, segue que, para todo n\ge N,
|a_{n}| > |L| - \frac{|L|}{2} = \frac{|L|}{2}.
Portanto, todos os termos a partir de N têm módulo estritamente maior que \dfrac{|L|}{2}.
Passo 4
Agora cuide dos termos com índice n<N. O conjunto \{\,|a_{1}|,\dots,|a_{N-1}|\,\} é finito e, como cada a_{k}\neq 0, todos esses valores são positivos. Defina o conjunto finito
S=\{\,|a_{1}|,\dots,|a_{N-1}|,\tfrac{|L|}{2}\,\}.
Como S é finito e todos os seus elementos são positivos, seu mínimo
m=\min S
é um número real estritamente positivo, m>0.
Passo 5
Escolha
\delta=\frac{m}{2}>0.
Mostro que \left|a_{n}\right|>\delta para todo n.
Se n<N, então |a_{n}|\in S, logo |a_{n}|\ge m=2\delta, portanto |a_{n}|>\delta.
Se n\ge N, já vimos que |a_{n}|>\dfrac{|L|}{2}. Como \dfrac{|L|}{2}\in S e m=\min S, tem-se |a_{n}|>\dfrac{|L|}{2}\ge m=2\delta, logo |a_{n}|>\delta.
Assim, para todo n vale |a_{n}|>\delta. Isso prova a primeira parte pedida.
Passo 6
Agora uso esse resultado para provar a Propriedade 4: \dfrac{1}{a_{n}}\to\dfrac{1}{L}.
Seja \varepsilon>0. Pelo que acabamos de mostrar, existe \delta>0 tal que |a_{n}|>\delta para todo n. Note que, para qualquer n,