Se \left(a_{n}\right) é uma sucessão convergente tal que a_{n} \neq 0 para todo n e \lim a_{n} \neq 0, mostre que existe \delta>0 tal que \left|a_{n}\right|>\delta para todo n. Use esse resultado para demonstrar a Propriedade 4 acima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • A sequência \left(a_{n}\right) converge; seja \lim a_{n}=L.
  • Tem-se a_{n}\neq 0 para todo n e \lim a_{n}=L\neq 0.
    O que é pedido:
  1. Mostrar que existe \delta>0 tal que \left|a_{n}\right|>\delta para todo n.
  2. Usar esse resultado para demonstrar a Propriedade 4 (aqui interpretada como: se \left(a_{n}\right) converge para L\neq 0 e a_{n}\neq 0 para todo n, então \dfrac{1}{a_{n}}\to\dfrac{1}{L}).

Passo 2

Começo provando a existência de \delta>0.
Seja L=\lim a_{n} com L\neq 0. Tome
\varepsilon_{0}=\frac{|L|}{2}>0.
Pela definição de limite (convergência), existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_{n}-L|<\varepsilon_{0}=\frac{|L|}{2}.

Passo 3

Usando a desigualdade triangular reversa (ou desigualdade triangular simples em forma rearranjada), para n\ge N temos
|a_{n}| = |L + (a_{n}-L)| \ge |\,|L|-|a_{n}-L|\,| = |L|-|a_{n}-L|.
Como |a_{n}-L|<\dfrac{|L|}{2}, segue que, para todo n\ge N,
|a_{n}| > |L| - \frac{|L|}{2} = \frac{|L|}{2}.
Portanto, todos os termos a partir de N têm módulo estritamente maior que \dfrac{|L|}{2}.

Passo 4

Agora cuide dos termos com índice n<N. O conjunto \{\,|a_{1}|,\dots,|a_{N-1}|\,\} é finito e, como cada a_{k}\neq 0, todos esses valores são positivos. Defina o conjunto finito
S=\{\,|a_{1}|,\dots,|a_{N-1}|,\tfrac{|L|}{2}\,\}.
Como S é finito e todos os seus elementos são positivos, seu mínimo
m=\min S
é um número real estritamente positivo, m>0.

Passo 5

Escolha
\delta=\frac{m}{2}>0.
Mostro que \left|a_{n}\right|>\delta para todo n.
  • Se n<N, então |a_{n}|\in S, logo |a_{n}|\ge m=2\delta, portanto |a_{n}|>\delta.
  • Se n\ge N, já vimos que |a_{n}|>\dfrac{|L|}{2}. Como \dfrac{|L|}{2}\in S e m=\min S, tem-se |a_{n}|>\dfrac{|L|}{2}\ge m=2\delta, logo |a_{n}|>\delta.
    Assim, para todo n vale |a_{n}|>\delta. Isso prova a primeira parte pedida.

Passo 6

Agora uso esse resultado para provar a Propriedade 4: \dfrac{1}{a_{n}}\to\dfrac{1}{L}.
Seja \varepsilon>0. Pelo que acabamos de mostrar, existe \delta>0 tal que |a_{n}|>\delta para todo n. Note que, para qualquer n,
\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{L}\right| = \frac{|a_{n}-L|}{|a_{n}||L|} \le \frac{|a_{n}-L|}{\delta\,|L|}.
Como a_{n}\to L, existe N_{\varepsilon} tal que, para todo n\ge N_{\varepsilon},
|a_{n}-L|<\varepsilon\,\delta\,|L|.
Para esses n temos então
\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{L}\right| \le \frac{|a_{n}-L|}{\delta\,|L|}<\frac{\varepsilon\,\delta\,|L|}{\delta\,|L|}=\varepsilon.
Isso mostra, pela definição de limite, que \dfrac{1}{a_{n}}\to\dfrac{1}{L}.

Resposta

Existe \delta>0 tal que |a_{n}|>\delta para todo n.
\displaystyle \frac{1}{a_{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{L}

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