Nos exercícios 17, 18 e 19, a ideia é utilizar integrais de linha para o cálculo de áreas, pois, pelo Teorema de Green, tem-se
onde
é a curva fechada que delimita a região
.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse
.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região
limitada pela elipse
Informações relevantes dadas:
- A curva que delimita
é a elipse . - Quer-se a área da região interior a essa curva (ou seja, a área do elipse).
Passo 2
Vou usar a fórmula de área por integral de linha fornecida (esta é a que devemos aplicar):
onde
é a curva fechada que delimita
, orientada positivamente (no sentido anti-horário).
Breve explicação didática do porquê dessa fórmula (intuição e como ela surge):
- O Teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada
à integral dupla sobre a região que delimita:
- Se escolhermos
e , então
- Assim a integral de linha vale a integral dupla de
sobre , ou seja, a área; isolando a área obtém-se exatamente
Isso justifica a fórmula que vamos aplicar. (Não é necessário repetir essa derivação na prova, mas é bom entender por que a fórmula funciona.)
Passo 3
Parametrização da elipse: primeiro colocamos a equação em forma padrão para identificar os semi-eixos. Dividindo por
Daí os semi-eixos são
Uma parametrização padrão e conveniente para uma elipse com esses semi-eixos é
Explicando por que essa parametrização funciona: substituir
na equação da elipse dá
portanto o ponto
está sobre a elipse para todo
. Quando
percorre
a parametrização percorre a curva uma vez no sentido anti-horário (sentido positivo), que é o que precisamos para aplicar a fórmula.]
Passo 4
Calcular
e
em termos de
:
Agora montamos o integrando
substituindo
:
Usando a identidade trigonométrica
, isso simplifica para
Passo 5
Agora calculamos a integral de linha ao longo de
usando
:
Aplicando a fórmula da área com o fator
:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o resultado coincide com a fórmula conhecida da área de uma elipse
, pois
e
dão
. Assim o cálculo por Green e a parametrização estão consistentes.