Nos exercícios 17, 18 e 19, a ideia é utilizar integrais de linha para o cálculo de áreas, pois, pelo Teorema de Green, tem-se
\text { Área de } R=\iint_{R} \mathrm{~d} A=\frac{1}{2} \oint_{C}-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y \text { , }Á
onde C é a curva fechada que delimita a região R.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse 5 x^{2}+7 y^{2}=35.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região R limitada pela elipse
5x^{2}+7y^{2}=35.
Informações relevantes dadas:
  • A curva que delimita R é a elipse 5x^{2}+7y^{2}=35.
  • Quer-se a área da região interior a essa curva (ou seja, a área do elipse).

Passo 2

Vou usar a fórmula de área por integral de linha fornecida (esta é a que devemos aplicar):
\text{Área de }R=\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y\bigr),Á
onde C é a curva fechada que delimita R, orientada positivamente (no sentido anti-horário).
Breve explicação didática do porquê dessa fórmula (intuição e como ela surge):
  • O Teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada C à integral dupla sobre a região R que C delimita:
\oint_{C}P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_{R}\bigl(\partial_x Q - \partial_y P\bigr)\,\mathrm{d}A.
  • Se escolhermos P=-\tfrac{y}{2} e Q=\tfrac{x}{2}, então
\partial_x Q - \partial_y P = \partial_x\!\left(\tfrac{x}{2}\right) - \partial_y\!\left(-\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1.
  • Assim a integral de linha vale a integral dupla de 1 sobre R, ou seja, a área; isolando a área obtém-se exatamente
\text{Área}=\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y\bigr).Á
Isso justifica a fórmula que vamos aplicar. (Não é necessário repetir essa derivação na prova, mas é bom entender por que a fórmula funciona.)

Passo 3

Parametrização da elipse: primeiro colocamos a equação em forma padrão para identificar os semi-eixos. Dividindo por 35\): \[\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{5} = 1.
Daí os semi-eixos são
a=\sqrt{7}\quad\text{(semi-eixo em \(x\))},\qquad b=\sqrt{5}\quad\text{(semi-eixo em \(y\))}.
Uma parametrização padrão e conveniente para uma elipse com esses semi-eixos é
\begin{cases} x(t) = a\cos t = \sqrt{7}\cos t,\\[4pt] y(t) = b\sin t = \sqrt{5}\sin t, \end{cases} \qquad t\in[0,2\pi].
Explicando por que essa parametrização funciona: substituir x(t)\] e \(y(t) na equação da elipse dá
\frac{(\sqrt{7}\cos t)^{2}}{7} + \frac{(\sqrt{5}\sin t)^{2}}{5} = \cos^{2}t + \sin^{2}t = 1,
portanto o ponto (x(t),y(t)) está sobre a elipse para todo t. Quando t percorre [0,2\pi] a parametrização percorre a curva uma vez no sentido anti-horário (sentido positivo), que é o que precisamos para aplicar a fórmula.]

Passo 4

Calcular \mathrm{d}x e \mathrm{d}y em termos de t:
\mathrm{d}x = x'(t)\,\mathrm{d}t = -a\sin t\,\mathrm{d}t = -\sqrt{7}\sin t\,\mathrm{d}t,
\mathrm{d}y = y'(t)\,\mathrm{d}t = b\cos t\,\mathrm{d}t = \sqrt{5}\cos t\,\mathrm{d}t.
Agora montamos o integrando -y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y substituindo x(t),y(t),\mathrm{d}x,\mathrm{d}y:
\begin{aligned} -y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y &= -\bigl(b\sin t\bigr)\cdot\bigl(-a\sin t\,\mathrm{d}t\bigr) + \bigl(a\cos t\bigr)\cdot\bigl(b\cos t\,\mathrm{d}t\bigr)\\[4pt] &= ab\bigl(\sin^{2}t + \cos^{2}t\bigr)\,\mathrm{d}t. \end{aligned}
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, isso simplifica para
-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = ab\,\mathrm{d}t = \bigl(\sqrt{7}\sqrt{5}\bigr)\,\mathrm{d}t = \sqrt{35}\,\mathrm{d}t.]

Passo 5

Agora calculamos a integral de linha ao longo de C usando t\in[0,2\pi]:
\oint_{C}\bigl(-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y\bigr) = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{35}\,\mathrm{d}t = \sqrt{35}\,\bigl[ t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi\sqrt{35}.
Aplicando a fórmula da área com o fator \tfrac{1}{2}:
\text{Área of }R = \frac{1}{2}\cdot 2\pi\sqrt{35} = \pi\sqrt{35}.Á

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o resultado coincide com a fórmula conhecida da área de uma elipse \text{Área}=\pi a bÁ, pois a=\sqrt{7} e b=\sqrt{5} dão \pi\sqrt{7}\sqrt{5}=\pi\sqrt{35}. Assim o cálculo por Green e a parametrização estão consistentes.

Resposta

\pi\sqrt{35}

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