A velocidade de uma partícula é dada por \mathbf{v}=\left\{16 t^{2} \mathbf{i}+\right. \left.4 t^{3} \mathbf{j}+(5 t+2) \mathbf{k}\right\} \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde t é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando t=0, determine a intensidade da aceleração da partícula quando t=2 \mathrm{~s}. Também, qual é a posição da partícula em coordenadas x, y, z neste instante?
Acceleration: The acceleration expressed in Cartesian vector form can be obtained by applying Eq. 12-9.
\mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\left[32 t \mathbf{i}+12 t^{2} \mathbf{j}+5 \mathbf{k}\right] \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}
When t=2 \mathrm{~s}, \mathbf{a}=32(2) \mathbf{i}+12\left(2^{2}\right) \mathbf{j}+5 \mathbf{k}=\{64 \mathbf{i}+48 \mathbf{j}+5 \mathbf{k}\} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. The magnitude of the acceleration is
a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}=\sqrt{64^{2}+48^{2}+5^{2}}=80.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Ans.
Position: The position expressed in Cartesian vector form can be obtained by applying Eq. 12-7.
\begin{gathered} d \mathbf{r}=\mathbf{v} d t \\\ \int_{0}^{\mathbf{r}} d \mathbf{r}=\int_{0}^{t}\left(16 t^{2} \mathbf{i}+4 t^{3} \mathbf{j}+(5 t+2) \mathbf{k}\right) d t \\\ \mathbf{r}=\left[\frac{16}{3} t^{3} \mathbf{i}+t^{4} \mathbf{j}+\left(\frac{5}{2} t^{2}+2 t\right) \mathbf{k}\right] \mathbf{m} \end{gathered}
When t=2 \mathrm{~s},
\mathbf{r}=\frac{16}{3}\left(2^{3}\right) \mathbf{i}+\left(2^{4}\right) \mathbf{j}+\left[\frac{5}{2}\left(2^{2}\right)+2(2)\right] \mathbf{k}=\{42.7 \mathbf{i}+16.0 \mathbf{j}+14.0 \mathbf{k}\} \mathbf{m}
Thus, the coordinate of the particle is
(42.7,16.0,14.0) \mathrm{m}
Ans.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade da partícula em função do tempo e uma condição inicial, e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
  • A velocidade vetorial é \mathbf{v}=\{16\,t^{2}\,\mathbf{i}+4\,t^{3}\,\mathbf{j}+(5\,t+2)\,\mathbf{k}\}\\ \mathrm{m/s}, onde t está em segundos.
  • A partícula está na origem quando t=0, ou seja, \mathbf{r}(0)=\mathbf{0}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a intensidade (magnitude) da aceleração da partícula quando t=2\\ \mathrm{s}.
  2. Determinar a posição da partícula em coordenadas x, y, z quando t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Ligação entre velocidade e aceleração (fórmula e interpretação).
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação vetorial:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}.
Isto significa que derivamos componente a componente: se \mathbf{v}=\{v_x(t)\,\mathbf{i}+v_y(t)\,\mathbf{j}+v_z(t)\,\mathbf{k}\}, então
\mathbf{a}(t)=\left\{\frac{dv_x}{dt}\mathbf{i}+\frac{dv_y}{dt}\mathbf{j}+\frac{dv_z}{dt}\mathbf{k}\right\}.
Regra usada para derivar potências: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Regra para soma/constante: derivada de c é 0, derivada de a t é a.
Agora aplico isso às componentes dadas:
  • v_x(t)=16\,t^{2}. Então \dfrac{dv_x}{dt}=16\cdot 2\,t=32\,t.
  • v_y(t)=4\,t^{3}. Então \dfrac{dv_y}{dt}=4\cdot 3\,t^{2}=12\,t^{2}.
  • v_z(t)=5\,t+2. Então \dfrac{dv_z}{dt}=5 (derivada de 5t é 5, de 2 é 0).
Portanto a aceleração geral é
\mathbf{a}(t)=\{32\,t\,\mathbf{i}+12\,t^{2}\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k}\}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Avaliar a aceleração no instante t=2\\ \mathrm{s} componente a componente.
  • Componente x:
a_x(2)=32\cdot 2=64\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Componente y:
a_y(2)=12\cdot (2^{2})=12\cdot 4=48\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Componente z:
a_z(2)=5\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Logo o vetor aceleração em t=2 é
\mathbf{a}(2)=\{64\,\mathbf{i}+48\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k}\}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Calcular a intensidade (magnitude) da aceleração a partir das componentes. A fórmula da magnitude de um vetor em coordenadas cartesianas é
a=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}},
onde a_x,a_y,a_z são as componentes do vetor aceleração.
Substituindo as componentes em t=2:
a=\sqrt{64^{2}+48^{2}+5^{2}}.
Calculemos passo a passo:
64^{2}=4096,\qquad 48^{2}=2304,\qquad 5^{2}=25.
Soma:
4096+2304+25=6425.
Portanto
a=\sqrt{6425}.
Podemos fatorar 6425=25\cdot 257, então
a=5\sqrt{257}.
Valor numérico aproximado (presa a calculadora mental/estimativa razoável): \sqrt{257}\approx 16,031, então
a\approx 5\cdot 16,031\approx 80,16\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Arredondando para uma casa decimal, a\approx 80,2\\ \mathrm{m/s^{2}}.)

Passo 5

Agora vamos achar a posição \mathbf{r}(t) integrando a velocidade com a condição inicial \mathbf{r}(0)=\mathbf{0}.
Relação entre velocidade e posição:
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}(t).
Integrando componente a componente:
\mathbf{r}(t)=\int \mathbf{v}(t)\,dt = \left\{\int 16\,t^{2}\,dt\,\mathbf{i}+\int 4\,t^{3}\,dt\,\mathbf{j}+\int (5\,t+2)\,dt\,\mathbf{k}\right\} + \mathbf{C},
onde \mathbf{C} é a constante de integração vetorial (determina a posição inicial).
Calcule as integrais usando \int t^{n}dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} e \int a\,dt = a t:
  • \int 16\,t^{2}dt = 16\cdot \dfrac{t^{3}}{3}=\dfrac{16}{3}t^{3}.
  • \int 4\,t^{3}dt =4\cdot \dfrac{t^{4}}{4}=t^{4}.
  • \int (5t+2)dt = \dfrac{5}{2}t^{2}+2t.
Assim
\mathbf{r}(t)=\left\{\dfrac{16}{3}t^{3}\,\mathbf{i}+t^{4}\,\mathbf{j}+\left(\dfrac{5}{2}t^{2}+2t\right)\mathbf{k}\right\}+\mathbf{C}.
Como \mathbf{r}(0)=\mathbf{0}, substituindo t=0 obtemos \mathbf{C}=\mathbf{0}. Logo a expressão final da posição é
\mathbf{r}(t)=\left\{\dfrac{16}{3}t^{3}\,\mathbf{i}+t^{4}\,\mathbf{j}+\left(\dfrac{5}{2}t^{2}+2t\right)\mathbf{k}\right\}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Avaliar \mathbf{r}(t) em t=2\\ \mathrm{s}, componente a componente.
  • Componente x:
x(2)=\dfrac{16}{3}\,2^{3}=\dfrac{16}{3}\cdot 8=\dfrac{128}{3}\\ \mathrm{m}\approx 42,666\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Componente y:
y(2)=2^{4}=16\\ \mathrm{m}.
  • Componente z:
z(2)=\dfrac{5}{2}\,2^{2}+2\cdot 2=\dfrac{5}{2}\cdot 4+4=10+4=14\\ \mathrm{m}.
Portanto a posição em t=2\\ \mathrm{s} pode ser dada exatamente como
\mathbf{r}(2)=\left\{\dfrac{128}{3}\,\mathbf{i}+16\,\mathbf{j}+14\,\mathbf{k}\right\}\\ \mathrm{m},
ou aproximando a componente x:
\mathbf{r}(2)\approx\{42,667\,\mathbf{i}+16,0\,\mathbf{j}+14,0\,\mathbf{k}\}\\ \mathrm{m}.

Resposta

a(2)=80{,}16\\ \mathrm{m/s^{2}} (aprox.)
\mathbf{r}(2)=\left(\dfrac{128}{3},\,16,\,14\right)\\ \mathrm{m}\\ \approx(42{,}667,\,16{,}0,\,14{,}0)\\ \mathrm{m}

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