A velocidade de uma partícula é dada por
, onde
é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando
, determine a intensidade da aceleração da partícula quando
. Também, qual é a posição da partícula em coordenadas
neste instante?
Acceleration: The acceleration expressed in Cartesian vector form can be obtained by applying Eq. 12-9.
When
. The magnitude of the acceleration is
Ans.
Position: The position expressed in Cartesian vector form can be obtained by applying Eq. 12-7.
When
,
Thus, the coordinate of the particle is
Ans.
Position: The position expressed in Cartesian vector form can be obtained by applying Eq. 12-7.
Ans.
Passo 1
O enunciado fornece a velocidade da partícula em função do tempo e uma condição inicial, e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
- A velocidade vetorial é
, onde está em segundos. - A partícula está na origem quando
, ou seja, .
O que o enunciado pede:
- Determinar a intensidade (magnitude) da aceleração da partícula quando
. - Determinar a posição da partícula em coordenadas
quando .
Passo 2
Ligação entre velocidade e aceleração (fórmula e interpretação).
- A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação vetorial:
Isto significa que derivamos componente a componente: se
, então
Regra usada para derivar potências:
. Regra para soma/constante: derivada de
é
, derivada de
é
.
Agora aplico isso às componentes dadas:
-
. Então . -
. Então . -
. Então (derivada de é , de é ).
Portanto a aceleração geral é
Passo 3
Avaliar a aceleração no instante
componente a componente.
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Logo o vetor aceleração em
é
Passo 4
Calcular a intensidade (magnitude) da aceleração a partir das componentes. A fórmula da magnitude de um vetor em coordenadas cartesianas é
onde
são as componentes do vetor aceleração.
Substituindo as componentes em
:
Calculemos passo a passo:
Soma:
Portanto
Podemos fatorar
, então
Valor numérico aproximado (presa a calculadora mental/estimativa razoável):
, então
(Arredondando para uma casa decimal,
.)
Passo 5
Agora vamos achar a posição
integrando a velocidade com a condição inicial
.
Relação entre velocidade e posição:
Integrando componente a componente:
onde
é a constante de integração vetorial (determina a posição inicial).
Calcule as integrais usando
e
:
-
. -
. -
.
Assim
Como
, substituindo
obtemos
. Logo a expressão final da posição é
Passo 6
Avaliar
em
, componente a componente.
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto a posição em
pode ser dada exatamente como
ou aproximando a componente
: