1. Se \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é L.I. então \left[v_{1}, v_{2}\right]=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}\right].

Passo 1

O enunciado afirma que, se \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é um conjunto linearmente independente, então o subespaço gerado por v_{1} e v_{2} é igual ao subespaço gerado por v_{1},v_{2} e v_{3}. O conteúdo aqui é dimensão de subespaços e comparação de spans.

Passo 2

Como \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente, temos
\dim\bigl(\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\bigr)=3.
Por outro lado, \{v_{1},v_{2}\} é, no máximo, um conjunto de duas vetores independentes, logo
\dim\bigl(\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}\bigr)\le2.

Passo 3

Dois subespaços de dimensões diferentes não podem ser iguais. Como
\dim\bigl(\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}\bigr)=2 \quad\text{e}\quad \dim\bigl(\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\bigr)=3,
seguramente
\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}\neq \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.

Passo 4

Um exemplo concreto em \mathbb{R}^3 é
v_{1}=(1,0,0),\;v_{2}=(0,1,0),\;v_{3}=(0,0,1).
Aqui \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é L.I., mas
\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\} é o plano z=0 e
\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^3. Claramente são diferentes.

Resposta

A afirmação é falsa.

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