- Matrizes de mudança de base são inversíveis.
Passo 1
Temos um espaço vetorial
de dimensão
sobre um corpo
e duas bases
Definimos a matriz de mudança de base de
para
, denotada por
, cujas colunas são as coordenadas de cada
em relação à base
. Queremos mostrar que
é invertível.
Passo 2
Seja
. Suas coordenadas em relação a
formam um vetor
, e em relação a
formam
. Por definição de mudança de base,
Analogamente, existe a matriz inversa de mudança de base,
que satisfaz
Passo 3
Substituindo a primeira relação na segunda, para qualquer
, temos
Como isso vale para todo vetor de coordenadas
, deduzimos
De forma análoga, aplicando as transformações na ordem inversa, obtemos
Passo 4
A existência de uma matriz
tal que
é exatamente a condição de invertibilidade de
. Logo,
Resposta
A matriz de mudança de base
é invertível, e seu inverso é a matriz de mudança de base de
para
: