1. Matrizes de mudança de base são inversíveis.

Passo 1

Temos um espaço vetorial V de dimensão n sobre um corpo K e duas bases
B = \{v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\},\quad B' = \{v'_{1}, v'_{2}, \dots, v'_{n}\}.
Definimos a matriz de mudança de base de B para B', denotada por P_{B\to B'}, cujas colunas são as coordenadas de cada v'_{j} em relação à base B. Queremos mostrar que P_{B\to B'} é invertível.

Passo 2

Seja x\in V. Suas coordenadas em relação a B formam um vetor [\!x\!]_{B}\in K^{n}, e em relação a B' formam [\!x\!]_{B'}\in K^{n}. Por definição de mudança de base,
[\!x\!]_{B'} \;=\; P_{B\to B'} \;[\!x\!]_{B}.
Analogamente, existe a matriz inversa de mudança de base,
P_{B'\to B},
que satisfaz
[\!x\!]_{B} \;=\; P_{B'\to B}\;[\!x\!]_{B'}.

Passo 3

Substituindo a primeira relação na segunda, para qualquer [\!x\!]_{B}, temos
[\!x\!]_{B} =\;P_{B'\to B}\bigl([\!x\!]_{B'}\bigr) =\;P_{B'\to B}\bigl(P_{B\to B'}\,[\!x\!]_{B}\bigr) =\;(P_{B'\to B}\,P_{B\to B'})\,[\!x\!]_{B}.
Como isso vale para todo vetor de coordenadas [\!x\!]_{B}, deduzimos
P_{B'\to B}\,P_{B\to B'} = I_{n}.
De forma análoga, aplicando as transformações na ordem inversa, obtemos
P_{B\to B'}\,P_{B'\to B} = I_{n}.

Passo 4

A existência de uma matriz Q = P_{B'\to B} tal que
Q\,P_{B\to B'} = I_{n} \quad\text{e}\quad P_{B\to B'}\,Q = I_{n}
é exatamente a condição de invertibilidade de P_{B\to B'}. Logo,
P_{B\to B'}^{-1} = P_{B'\to B}.

Resposta

A matriz de mudança de base P_{B\to B'} é invertível, e seu inverso é a matriz de mudança de base de B' para B:
\bigl(P_{B\to B'}\bigr)^{-1} = P_{B'\to B}.

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