\left(x^{2} y^{3}+y+x-2\right) d x+\left(x^{3} y^{2}+x\right) d y=0
[Use a substituição: x y=u ]

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\bigl(x^{2}y^{3}+y+x-2\bigr)\,dx+\bigl(x^{3}y^{2}+x\bigr)\,dy=0
e pede para usar a substituição u=xy. Vamos reconhecer que, definindo
u=xy,
temos
du=y\,dx+x\,dy.
Nosso objetivo é reescrever a equação em termos de x, u e du.

Passo 2

Escrevemos as potências em função de u:
x^{2}y^{3}=x\cdot(xy^{3})=x\,(y\cdot x y^{2})=x\,(u\,y^{2}) =(u^{2}y),
x^{3}y^{2}=x\cdot(x^{2}y^{2})=x\,(u^{2})=x\,u^{2}.
Logo, a equação fica
\bigl(u^{2}y+y+x-2\bigr)\,dx+\bigl(x\,u^{2}+x\bigr)\,dy=0.

Passo 3

Observando que x\,dy=du-y\,dx, substituímos em N\,dy:
\bigl(x\,u^{2}+x\bigr)\,dy = x\,(u^{2}+1)\,dy =(u^{2}+1)\,(du - y\,dx).
Assim, a soma M\,dx + N\,dy torna-se
\bigl(u^{2}y+y+x-2\bigr)\,dx+(u^{2}+1)(du-y\,dx)=0.

Passo 4

Agrupando os termos em dx e du:
\bigl(u^{2}y+y+x-2-(u^{2}+1)y\bigr)\,dx+(u^{2}+1)\,du=0 \;\Longrightarrow\; (x-2)\,dx+(u^{2}+1)\,du=0.

Passo 5

Integramos separadamente:
\int(x-2)\,dx+\int(u^{2}+1)\,du = C \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{2}-2x+\frac{u^{3}}{3}+u = C.

Passo 6

Voltando à variável original u=xy, obtemos a solução implícita
\frac{x^{2}}{2}-2x+\frac{(xy)^{3}}{3}+xy = C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-2x+\frac{x^{3}y^{3}}{3}+xy = C.

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