\left(1+x^{2} y^{2}\right) y+(x y-1)^{2} x y^{\prime}=0
[Use a substituição: x y=u ]

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(1 + x^{2}y^{2}\bigr)\,y \;+\;(x y - 1)^{2}\,x\,y'=0
e indica a substituição u = x\,y. Nosso objetivo é reescrever a equação em termos de u(x), resolver por separação de variáveis e depois voltar à variável original y.

Passo 2

Escrevemos y e y' em função de u:
y = \frac{u}{x}, \qquad y' = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{u}{x}\Bigr) = \frac{x\,u' - u}{x^{2}}.
Substituindo em \;(1 + x^{2}y^{2})\,y + (x y - 1)^{2}\,x\,y' = 0,
temos
\bigl(1 + u^{2}\bigr)\frac{u}{x} \;+\;(u - 1)^{2}\,x\;\frac{x\,u' - u}{x^{2}} = 0.
Multiplicando tudo por x e agrupando termos, obtemos
x\,(u - 1)^{2}\,u' \;+\;\bigl[(1+u^{2}) u - (u-1)^{2}u\bigr] = 0.
Como
(1+u^{2})u - (u-1)^{2}u = u\bigl[(1+u^{2}) - (u^{2}-2u+1)\bigr] = u\,(2u) = 2u^{2},
a equação reduz-se a
x\,(u - 1)^{2}\,u' + 2u^{2} = 0.

Passo 3

Reescrevemos como equação separável. Isolando u':
x\,(u - 1)^{2}\,\frac{du}{dx} = -2u^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{(u - 1)^{2}}{u^{2}}\,du = -2\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{(u - 1)^{2}}{u^{2}}\,du = \int \Bigl(1 - \tfrac{2}{u} + \tfrac{1}{u^{2}}\Bigr)\,du = u - 2\ln\bigl|u\bigr| - \frac{1}{u}
e
\int -2\,\frac{dx}{x} = -2\ln\bigl|x\bigr| + C.
Logo,
u - 2\ln\bigl|u\bigr| - \frac{1}{u} = -2\ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembre que u = x\,y. Substituindo:
x\,y \;-\;2\ln\bigl|x\,y\bigr| \;-\;\frac{1}{x\,y} = -2\ln\bigl|x\bigr| + C.
Podemos combinar os termos logarítmicos:
-2\ln\bigl|x\,y\bigr| + 2\ln\bigl|x\bigr| = -2\ln\bigl|y\bigr|.
Assim a solução implícita fica
x\,y \;-\;2\ln\bigl|y\bigr| \;-\;\frac{1}{x\,y} = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
x\,y \;-\;2\ln\bigl|y\bigr| \;-\;\frac{1}{x\,y} = C.

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