y^{\prime}+\sin \frac{x+y}{2}=\sin \frac{x-y}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + \sin\!\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \;=\; \sin\!\Bigl(\frac{x - y}{2}\Bigr).
O conteúdo que precisamos usar envolve identidades trigonométricas para reescrever a diferença de senos e, em seguida, método de separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
y' \;=\; \sin\!\Bigl(\tfrac{x - y}{2}\Bigr)\;-\;\sin\!\Bigl(\tfrac{x + y}{2}\Bigr).

Passo 3

Aplicamos a identidade
\sin A - \sin B = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{A+B}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{A-B}{2}\Bigr)
com A=\tfrac{x-y}{2} e B=\tfrac{x+y}{2}. Então
A+B = x, \quad A-B = -y,
logo
\sin\!\Bigl(\tfrac{x - y}{2}\Bigr)-\sin\!\Bigl(\tfrac{x + y}{2}\Bigr) =2\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{-y}{2}\Bigr) =-2\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr).
Portanto
y' = -2\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr).

Passo 4

Agora usamos separação de variáveis:
\frac{dy}{dx} = -2\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{\sin\!\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)} = -2\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, fazemos a substituição u=\tfrac{y}{2}, logo dy=2\,du:
\int \frac{dy}{\sin\!\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)} = \int \frac{2\,du}{\sin u} = 2\int \csc u\,du = 2\ln\bigl|\tan\!\tfrac{u}{2}\bigr| + C = 2\ln\bigl|\tan\!\tfrac{y}{4}\bigr| + C.
No lado direito, seja t=\tfrac{x}{2}, dx=2\,dt:
\int -2\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)\,dx = -2\int \cos t\,(2\,dt) = -4\int \cos t\,dt = -4\sin t + C = -4\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) + C.

Passo 6

Igualando as integrais e absorvendo constantes em uma só constante C_1,
2\ln\bigl|\tan\!\tfrac{y}{4}\bigr| = -4\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) + C_1.
Dividindo por 2:
\ln\bigl|\tan\!\tfrac{y}{4}\bigr| = -2\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) + C_2.

Passo 7

Exponenciando, definindo C=e^{C_2}, obtemos
\tan\!\Bigl(\tfrac{y}{4}\Bigr) = C\,e^{-2\sin(\tfrac{x}{2})}.
Finalmente,
y(x) = 4\arctan\!\Bigl(C\,e^{-2\sin(\tfrac{x}{2})}\Bigr),
que é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

y(x)=4\arctan\!\bigl(C\,e^{-2\sin(\tfrac{x}{2})}\bigr),
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados