\left(7^{-1} x\right)^{-3}=

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser simplificada:
\left(7^{-1} x\right)^{-3}.
O que se pede: escrever essa expressão de forma simplificada. Informação relevante: x é uma variável e, por aparecer no denominador após simplificação, devemos assumir x \neq 0.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vou usar (explicadas passo a passo):
  • Regra do produto elevado a potência: para quaisquer números ou expressões a, b e inteiro n,
(ab)^n = a^n b^n.
Isto significa que quando uma multiplicação inteira está dentro de parênteses e se eleva a uma potência, pode-se elevar cada fator separadamente. Exemplo numérico: (2\cdot3)^2 = 2^2\cdot3^2 = 4\cdot9 = 36.
  • Regra da potência de potência: para a e inteiros m,n,
(a^m)^n = a^{mn}.
Ou seja, exponenciais se multiplicam quando uma potência é elevada a outra potência. Exemplo: (2^3)^2 = 2^{3\cdot2}=2^6=64.
  • Regra do expoente negativo: para a e inteiro n,
a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
Isto significa que um expoente negativo inverte a base como fração. Exemplo: 2^{-2} = 1/2^2 = 1/4.

Passo 3

Aplicar a regra do produto elevado a potência à expressão dada. Dentro dos parênteses há um produto 7^{-1}\cdot x, então
\left(7^{-1} x\right)^{-3} = \left(7^{-1}\right)^{-3}\cdot x^{-3}.

Passo 4

Agora simplificar \left(7^{-1}\right)^{-3} usando a regra da potência de potência. Aqui a=7, m=-1 e n=-3, logo
\left(7^{-1}\right)^{-3} = 7^{(-1)\cdot(-3)} = 7^{3}.
Calcular 7^{3}:
7^{3}=7\cdot7\cdot7=49\cdot7=343.

Passo 5

Substituindo na expressão obtida no Passo 3:
\left(7^{-1} x\right)^{-3} = 7^{3}\cdot x^{-3} = 343\cdot x^{-3}.
Usando a regra do expoente negativo para escrever sem expoentes negativos:
343\cdot x^{-3} = \frac{343}{x^{3}},
válido para x\neq 0.

Passo 6

(Confirmação alternativa rápida) Observando que 7^{-1}x=\dfrac{x}{7}, tem-se
\left(\frac{x}{7}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{x}\right)^{3} = \frac{7^{3}}{x^{3}}=\frac{343}{x^{3}},
mesma resposta, confirmando a coerência.

Resposta

\dfrac{343}{x^{3}}

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