(5 \cdot 11)^{-2}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico de (5\cdot 11)^{-2}. As informações fornecidas são: a base é o produto 5\cdot 11 e o expoente é -2. O objetivo é dar o resultado final em forma numérica.

Passo 2

Regra importante sobre expoente negativo: para qualquer número não nulo a e inteiro n,
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}.
Isto significa que expoente negativo indica o inverso (recíproco) do número com expoente positivo. Exemplo rápido: 2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}.

Passo 3

Regra do expoente sobre produto: para quaisquer números a,b e inteiro n,
(ab)^{n} = a^{n} b^{n}.
Ou seja, o expoente distribui-se sobre o produto. Exemplo: (2\cdot3)^{2} = 6^{2} = 36 e 2^{2}\cdot3^{2} = 4\cdot9 = 36, batem certinho.

Passo 4

Escolha do método: é mais prático aplicar as duas regras acima — distribuir o expoente negativo sobre os fatores e depois usar a definição de expoente negativo — porque os cálculos ficam com números menores ( 5 e 11) em vez de trabalhar com 55 desde o início. Agora aplico as regras.

Passo 5

Aplicando (ab)^{n}=a^{n}b^{n} com a=5, b=11 e n=-2:
(5\cdot11)^{-2} = 5^{-2}\cdot 11^{-2}.

Passo 6

Agora uso a regra do expoente negativo a^{-2}=\dfrac{1}{a^{2}}:
5^{-2} = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25}, \qquad 11^{-2} = \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{121}.
Multiplicando:
5^{-2}\cdot11^{-2} = \frac{1}{25}\cdot\frac{1}{121} = \frac{1}{25\cdot121}.

Passo 7

Calcular 25\cdot121: faça 25\cdot(100+21)=25\cdot100+25\cdot21=2500+525=3025. Portanto
\frac{1}{25\cdot121}=\frac{1}{3025}.

Resposta

\dfrac{1}{3025}

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