Se A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 3\end{array}\right], calcule A B-B A.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede para calcular a diferença A B - B A. As informações fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] 1 & 3\end{array}\right].
A pergunta é: qual é a matriz \,A B - B A\,?]

Passo 2

Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes 2\times2: para duas matrizes X e Y de ordem 2,
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} X_{ik}Y_{kj},
ou seja, cada elemento (XY)_{ij} é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de X pelos elementos da j-ésima coluna de Y. Vou aplicar isso para calcular AB.
Calculemos os elementos de AB:
\begin{aligned} (AB)_{11} &= A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} = 1\cdot 2 + 2\cdot 1 = 2+2 = 4,\\[4pt] (AB)_{12} &= A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} = 1\cdot 0 + 2\cdot 3 = 0+6 = 6,\\[4pt] (AB)_{21} &= A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} = 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 0+1 = 1,\\[4pt] (AB)_{22} &= A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} = 0\cdot 0 + 1\cdot 3 = 0+3 = 3. \end{aligned}
Portanto
AB=\left[\begin{array}{cc}4 & 6 \\[4pt] 1 & 3\end{array}\right].]

Passo 3

Agora calculo BA usando a mesma regra, trocando a ordem das matrizes:
\begin{aligned} (BA)_{11} &= B_{11}A_{11}+B_{12}A_{21} = 2\cdot 1 + 0\cdot 0 = 2+0 = 2,\\[4pt] (BA)_{12} &= B_{11}A_{12}+B_{12}A_{22} = 2\cdot 2 + 0\cdot 1 = 4+0 = 4,\\[4pt] (BA)_{21} &= B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21} = 1\cdot 1 + 3\cdot 0 = 1+0 = 1,\\[4pt] (BA)_{22} &= B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22} = 1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 2+3 = 5. \end{aligned}
Assim
BA=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\[4pt] 1 & 5\end{array}\right].]

Passo 4

Subtração de matrizes: a diferença AB-BA é obtida subtraindo elemento a elemento:
(AB-BA)_{ij}=(AB)_{ij}-(BA)_{ij}.
Calcule cada entrada:
\begin{aligned} (AB-BA)_{11} &= 4-2 = 2,\\[4pt] (AB-BA)_{12} &= 6-4 = 2,\\[4pt] (AB-BA)_{21} &= 1-1 = 0,\\[4pt] (AB-BA)_{22} &= 3-5 = -2. \end{aligned}]

Passo 5

Portanto a matriz diferença é
AB-BA=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\[4pt] 0 & -2\end{array}\right].]

Resposta

\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\[4pt] 0 & -2\end{array}\right]]

Exercícios relacionados