\left[\begin{array}{rr}3 & 1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right] X-X\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\\\ 5 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O problema pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação
\left[\begin{array}{rr}3 & 1 \\[4pt] -1 & 2\end{array}\right] X - X \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\[4pt] 2 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\[4pt] 5 & 4\end{array}\right].
As informações dadas são as três matrizes acima (duas que multiplicam X e a matriz do lado direito). A incógnita é a matriz X (assumir 2\times2).]

Passo 2

Vou colocar incógnitas para os elementos de X. Seja
X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}.
A estratégia mais direta é calcular \,A X e X B (onde A=\begin{pmatrix}3&1\\\ -1&2\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}1&4\\\ 2&0\end{pmatrix}), formar A X - X B e igualar termo a termo com a matriz conhecida, obtendo um sistema linear em x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}. Vou explicar cada multiplicação e passo.]

Passo 3

Calcular A X. Multiplicação de matrizes: cada entrada de A X é dado pelo produto da linha correspondente de A pela coluna correspondente de X. Assim
A X = \begin{pmatrix} 3x_{11}+1x_{21} & 3x_{12}+1x_{22}\\[4pt] -1x_{11}+2x_{21} & -1x_{12}+2x_{22} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular X B. Novamente cada entrada é linha de X vezes coluna de B:
X B = \begin{pmatrix} x_{11}+2x_{12} & 4x_{11}+0\cdot x_{12}\\[4pt] x_{21}+2x_{22} & 4x_{21}+0\cdot x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11}+2x_{12} & 4x_{11}\\[4pt] x_{21}+2x_{22} & 4x_{21} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora formo A X - X B e igualo à matriz dada, componente a componente:
A X - X B = \begin{pmatrix} (3x_{11}+x_{21})-(x_{11}+2x_{12}) & (3x_{12}+x_{22})-4x_{11}\\[4pt] (-x_{11}+2x_{21})-(x_{21}+2x_{22}) & (-x_{12}+2x_{22})-4x_{21} \end{pmatrix}.
Igualando com \begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]5 & 4\end{pmatrix} obtemos o sistema de quatro equações:
\begin{cases} 2x_{11}-2x_{12}+x_{21}=2,\\[4pt] -4x_{11}+3x_{12}+x_{22}=-2,\\[4pt] - x_{11}+x_{21}-2x_{22}=5,\\[4pt] - x_{12}-4x_{21}+2x_{22}=4. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema por eliminação. Primeiro isolamos x_{11} da terceira equação:
- x_{11}+x_{21}-2x_{22}=5 \quad\Rightarrow\quad x_{11}=-5+x_{21}-2x_{22}.
Substituo essa expressão em (1) e (2).
Substituição em (1):
2(-5+x_{21}-2x_{22})-2x_{12}+x_{21}=2
\Rightarrow -10+2x_{21}-4x_{22}-2x_{12}+x_{21}=2
\Rightarrow -2x_{12}+3x_{21}-4x_{22}=12. \tag{1a}
Substituição em (2):
-4(-5+x_{21}-2x_{22})+3x_{12}+x_{22}=-2
\Rightarrow 20-4x_{21}+8x_{22}+3x_{12}+x_{22}=-2
\Rightarrow 3x_{12}-4x_{21}+9x_{22}=-22. \tag{2a}
Agora usamos também a equação (4) original:
- x_{12}-4x_{21}+2x_{22}=4. \tag{4}
Temos o sistema de três equações em x_{12},x_{21},x_{22}: (1a),(2a),(4).

Passo 7

Isolo x_{12} da equação (4):
- x_{12}-4x_{21}+2x_{22}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{12}=-4-4x_{21}+2x_{22}.
Substituo essa expressão em (1a) e (2a).
Substituindo em (1a):
-2(-4-4x_{21}+2x_{22})+3x_{21}-4x_{22}=12
\Rightarrow 8+8x_{21}-4x_{22}+3x_{21}-4x_{22}=12
\Rightarrow 11x_{21}-8x_{22}=4. \tag{A}
Substituindo em (2a):
3(-4-4x_{21}+2x_{22})-4x_{21}+9x_{22}=-22
\Rightarrow -12-12x_{21}+6x_{22}-4x_{21}+9x_{22}=-22
\Rightarrow -16x_{21}+15x_{22}=-10
\Rightarrow 16x_{21}-15x_{22}=10. \tag{B}

Passo 8

Resolver o sistema linear formado por (A)\) e \((B)\): \[\begin{cases} 11x_{21}-8x_{22}=4,\\[4pt] 16x_{21}-15x_{22}=10. \end{cases}
Multiplico (A)\] por \(15 e (B) por 8 e subtraio para eliminar x_{22}:
165x_{21}-120x_{22}=60, \qquad 128x_{21}-120x_{22}=80.
Subtraindo: (165-128)x_{21}=60-80\Rightarrow 37x_{21}=-20. Logo
x_{21}=-\dfrac{20}{37}.
Substituo em (A):
11\!\left(-\dfrac{20}{37}\right)-8x_{22}=4
\Rightarrow -\dfrac{220}{37}-8x_{22}=4
\Rightarrow -8x_{22}=\dfrac{368}{37}
\Rightarrow x_{22}=-\dfrac{368}{37}\cdot\dfrac{1}{8}=-\dfrac{46}{37}.]

Passo 9

Agora encontro x_{12} e x_{11}. Usando x_{12}=-4-4x_{21}+2x_{22}:
x_{12}=-4-4\!\left(-\dfrac{20}{37}\right)+2\!\left(-\dfrac{46}{37}\right) =-4+\dfrac{80}{37}-\dfrac{92}{37} =-4-\dfrac{12}{37} =-\dfrac{160}{37}.
Usando x_{11}=-5+x_{21}-2x_{22}:
x_{11}=-5-\dfrac{20}{37}-2\!\left(-\dfrac{46}{37}\right) =-5-\dfrac{20}{37}+\dfrac{92}{37} =-5+\dfrac{72}{37} =-\dfrac{113}{37}.

Passo 10

Resumo dos resultados (cheguei a estes valores após eliminar e substituir — é sempre bom conferir ilocamente, mas os cálculos batem):
x_{11}=-\dfrac{113}{37},\qquad x_{12}=-\dfrac{160}{37},\qquad x_{21}=-\dfrac{20}{37},\qquad x_{22}=-\dfrac{46}{37}.

Resposta

X=\frac{1}{37}\begin{pmatrix}-113 & -160 \\[4pt] -20 & -46\end{pmatrix}]

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