Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear (peguei os coeficientes e termos independentes da matriz fornecida) e pede que eu escreva o sistema de equações correspondente e o resolva usando eliminação de Gauss, introduzindo parâmetros livres se necessário.
As colunas correspondem, respectivamente, aos coeficientes de \,x\), de \(\,y\), e ao termo independente. Portanto o sistema de equações associado é:
\[\begin{cases} 3x + 1y = -2,\\[4pt] -9x -3y = 6,\\[4pt] 6x +2y = 1. \end{cases}
O que devo responder: encontrar todas as soluções ((x,y)] do sistema, ou concluir que não há solução se o sistema for inconsistente.]
Passo 2
Rápida explicação didática da técnica que vou usar (eliminação de Gauss), passo a passo e com linguagem simples.
A eliminação de Gauss transforma a matriz aumentada do sistema por operações elementares de linha até obter uma forma triangular (ou reduzida), o que facilita ler as equações finais e resolver.
Operações elementares de linha permitidas:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Um sinal claro de sistema inconsistente é aparecer uma linha da forma\left[\begin{array}{cc|c}0 & 0 & b\end{array}\right]com b\neq 0. Isso corresponde à equação 0x+0y=b, ou seja 0=b, contradição — então não existe solução.
Vou aplicar as operações legitimamente para simplificar a matriz e verificar se surge esse tipo de linha ou se posso obter valores para x e y.
Passo 3
Escrevo novamente a matriz aumentada e marco as linhas para operar:
A linha R_2 agora é 0x+0y=0, que é apenas uma identidade 0=0 (linha redundante).
A linha R_3 representa a equação 0x+0y=5, isto é 0=5.
A equação 0=5 é uma contradição. Pela explicação didática anterior, uma linha do tipo [0\;0\mid b] com b\neq 0 indica que o sistema é inconsistente: não existe par (x,y) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Geometricamente (intuição amiga): as duas equações independentes que realmente importam são
3x+y=-2\quad\text{e}\quad 6x+2y=1.
A segunda é 2 vezes a primeira no lado esquerdo (6x+2y), mas os termos independentes -2 e 1 não satisfazem a mesma relação (porque 2\cdot(-2)=-4\neq1). Isso corresponde a duas retas com mesma inclinação e interceptos diferentes — ou seja, retas paralelas que nunca se interceptam → sem solução.
Resposta
O sistema é inconsistente; não existe solução (sistema sem solução).