Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & -2 \\\\ -9 & -3 & 6 \\\\ 6 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear (peguei os coeficientes e termos independentes da matriz fornecida) e pede que eu escreva o sistema de equações correspondente e o resolva usando eliminação de Gauss, introduzindo parâmetros livres se necessário.
A matriz aumentada dada é
\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & -2\\[4pt] -9 & -3 & 6\\[4pt] 6 & 2 & 1 \end{array}\right].
As colunas correspondem, respectivamente, aos coeficientes de \,x\), de \(\,y\), e ao termo independente. Portanto o sistema de equações associado é: \[\begin{cases} 3x + 1y = -2,\\[4pt] -9x -3y = 6,\\[4pt] 6x +2y = 1. \end{cases}
O que devo responder: encontrar todas as soluções ((x,y)] do sistema, ou concluir que não há solução se o sistema for inconsistente.]

Passo 2

Rápida explicação didática da técnica que vou usar (eliminação de Gauss), passo a passo e com linguagem simples.
  • A eliminação de Gauss transforma a matriz aumentada do sistema por operações elementares de linha até obter uma forma triangular (ou reduzida), o que facilita ler as equações finais e resolver.
  • Operações elementares de linha permitidas:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Um sinal claro de sistema inconsistente é aparecer uma linha da forma \left[\begin{array}{cc|c}0 & 0 & b\end{array}\right]com b\neq 0. Isso corresponde à equação 0x+0y=b, ou seja 0=b, contradição — então não existe solução.
  • Vou aplicar as operações legitimamente para simplificar a matriz e verificar se surge esse tipo de linha ou se posso obter valores para x e y.

Passo 3

Escrevo novamente a matriz aumentada e marco as linhas para operar:
\left[\begin{array}{rr|r} 3 & 1 & -2\\[4pt] -9 & -3 & 6\\[4pt] 6 & 2 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr|r} 3 & 1 & -2\\[4pt] -9 & -3 & 6\\[4pt] 6 & 2 & 1 \end{array}\right]
denotando as linhas por R_1,R_2,R_3 na ordem mostrada.
Escolho R_1 como linha-pivô (porque tem entrada 3 não nula na primeira coluna) e uso-a para zerar as entradas abaixo dela na primeira coluna.]

Passo 4

Faço a operação R_2 := R_2 + 3R_1. Vou calcular cada entrada:
  • Primeira coluna: -9 + 3\cdot 3 = -9 + 9 = 0.
  • Segunda coluna: -3 + 3\cdot 1 = -3 + 3 = 0.
  • Termo independente: 6 + 3\cdot(-2) = 6 -6 = 0.
Então R_2 vira a linha nula. A matriz fica:
\left[\begin{array}{rr|r} 3 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 6 & 2 & 1 \end{array}\right].
Comentário: a segunda equação era múltipla da primeira (especificamente, R_2=-3R_1), então ela não traz nova informação.]

Passo 5

Agora vou zerar a entrada da primeira coluna em R_3 usando R_1. Faço R_3 := R_3 - 2R_1. Calculo:
  • Primeira coluna: 6 - 2\cdot 3 = 6 -6 = 0.
  • Segunda coluna: 2 - 2\cdot 1 = 2 -2 = 0.
  • Termo independente: 1 - 2\cdot(-2) = 1 +4 = 5.
Portanto R_3 transforma-se em [0\; 0\; 5]. A matriz fica:
\left[\begin{array}{rr|r} 3 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação das linhas finais:
  • A linha R_1 representa a equação \,3x + y = -2.
  • A linha R_2 agora é 0x+0y=0, que é apenas uma identidade 0=0 (linha redundante).
  • A linha R_3 representa a equação 0x+0y=5, isto é 0=5.
A equação 0=5 é uma contradição. Pela explicação didática anterior, uma linha do tipo [0\;0\mid b] com b\neq 0 indica que o sistema é inconsistente: não existe par (x,y) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Geometricamente (intuição amiga): as duas equações independentes que realmente importam são
3x+y=-2\quad\text{e}\quad 6x+2y=1.
A segunda é 2 vezes a primeira no lado esquerdo ( 6x+2y), mas os termos independentes -2 e 1 não satisfazem a mesma relação (porque 2\cdot(-2)=-4\neq1). Isso corresponde a duas retas com mesma inclinação e interceptos diferentes — ou seja, retas paralelas que nunca se interceptam → sem solução.

Resposta

O sistema é inconsistente; não existe solução (sistema sem solução).

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