Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
Vou chamar as incógnitas de \;x,\;y,\;z\; (nessa ordem).
Passo 2
Escrevendo a matriz aumentada como sistema de equações (cada linha vira uma equação):
\begin{cases} 2x - 4y + z = 6,\\[4pt] -4x + 0y + 3z = -1,\\[4pt] 0x + y - z = 3. \end{cases}
Ou de forma mais simples:
\begin{cases} 2x - 4y + z = 6,\\[4pt] -4x + 3z = -1,\\[4pt] y - z = 3. \end{cases}
Agora vamos aplicar eliminação de Gauss passo a passo. Lembrete rápido sobre operações de linha válidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a um linha um múltiplo de outra. O objetivo é obter uma matriz triangular (forma de escalonamento) e depois fazer substituição regressiva.]
Passo 3
Escrevo novamente a matriz aumentada inicial para operar sobre ela:
Primeira meta: eliminar o x da segunda linha usando a primeira linha. A segunda linha tem -4 no lugar de x; se eu somar 2 vezes a primeira linha à segunda, o coeficiente de x fica zero. Faço
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1.
Calculando entrada a entrada:
Para x: -4 + 2\cdot 2 = -4 + 4 = 0.
Para y: 0 + 2\cdot(-4) = -8.
Para z: 3 + 2\cdot 1 = 5.
Para o termo independente: -1 + 2\cdot 6 = -1 + 12 = 11.
Agora é conveniente ter um pivô fácil para eliminar na coluna y. A linha 3 já tem coeficiente 1 em y, então troco as linhas R_2 e R_3 para colocar esse pivô em cima: