Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
\left[\begin{array}{rrrr}2 & -4 & 1 & 6 \\\\ -4 & 0 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear. Temos que:
  • Escrever o sistema de equações lineares correspondente.
  • Resolver o sistema usando eliminação de Gauss (introduzir parâmetros livres se necessário).
A matriz aumentada dada é
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & -4 & 1 & 6 \\\\ -4 & 0 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]
Vou chamar as incógnitas de \;x,\;y,\;z\; (nessa ordem).

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada como sistema de equações (cada linha vira uma equação):
\begin{cases} 2x - 4y + z = 6,\\[4pt] -4x + 0y + 3z = -1,\\[4pt] 0x + y - z = 3. \end{cases}
Ou de forma mais simples:
\begin{cases} 2x - 4y + z = 6,\\[4pt] -4x + 3z = -1,\\[4pt] y - z = 3. \end{cases}
Agora vamos aplicar eliminação de Gauss passo a passo. Lembrete rápido sobre operações de linha válidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a um linha um múltiplo de outra. O objetivo é obter uma matriz triangular (forma de escalonamento) e depois fazer substituição regressiva.]

Passo 3

Escrevo novamente a matriz aumentada inicial para operar sobre ela:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 1 & 6\\[4pt] -4 & 0 & 3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]
Primeira meta: eliminar o x da segunda linha usando a primeira linha. A segunda linha tem -4 no lugar de x; se eu somar 2 vezes a primeira linha à segunda, o coeficiente de x fica zero. Faço
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1.
Calculando entrada a entrada:
  • Para x: -4 + 2\cdot 2 = -4 + 4 = 0.
  • Para y: 0 + 2\cdot(-4) = -8.
  • Para z: 3 + 2\cdot 1 = 5.
  • Para o termo independente: -1 + 2\cdot 6 = -1 + 12 = 11.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -8 & 5 & 11\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora é conveniente ter um pivô fácil para eliminar na coluna y. A linha 3 já tem coeficiente 1 em y, então troco as linhas R_2 e R_3 para colocar esse pivô em cima:
R_2 \leftrightarrow R_3.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & -8 & 5 & 11 \end{array}\right]]

Passo 5

Usando o pivô 1 em R_2 (coluna de y), elimino o y da primeira e da terceira linhas.
Para a primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 + 4R_2 (pois R_1 tem -4 em y, então soma-se 4 vezes R_2):
  • x: 2 + 4\cdot 0 = 2.
  • y: -4 + 4\cdot 1 = 0.
  • z: 1 + 4\cdot(-1) = 1 -4 = -3.
  • termo livre: 6 + 4\cdot 3 = 6 +12 = 18.
Para a terceira linha: R_3 \leftarrow R_3 + 8R_2 (pois tem -8 em y):
  • x: 0 + 8\cdot 0 = 0.
  • y: -8 + 8\cdot 1 = 0.
  • z: 5 + 8\cdot(-1) = 5 -8 = -3.
  • termo livre: 11 + 8\cdot 3 = 11 +24 = 35.
Após essas operações a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & -3 & 18\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 35 \end{array}\right]
Agora temos forma escalonada (triangular): o pivô de z está na terceira linha.]

Passo 6

A terceira linha dá uma equação só com z:
-3z = 35.
Para isolar z, divido ambos os lados por -3:
z = \frac{35}{-3} = -\frac{35}{3}.
(Se preferir, poderia fazer a operação de linha R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_3 para obter o pivô 1; o resultado é o mesmo.)

Passo 7

Agora faço substituição regressiva (back-substitution) usando a segunda linha que é y - z = 3. Substituo z = -\dfrac{35}{3}:
y - \left(-\frac{35}{3}\right) = 3.
Portanto
y + \frac{35}{3} = 3.
Escrevendo 3 com denominador 3: 3 = \dfrac{9}{3}. Então
y = \frac{9}{3} - \frac{35}{3} = -\frac{26}{3}.

Passo 8

Agora uso a primeira linha, que (após as operações) é 2x - 3z = 18. Substituo z = -\dfrac{35}{3}:
2x - 3\left(-\frac{35}{3}\right) = 18.
O termo -3\cdot\left(-\dfrac{35}{3}\right) simplifica: -3 cancela com o 3 do denominador, ficando +35. Então
2x + 35 = 18.
Logo
2x = 18 - 35 = -17,
e
x = -\frac{17}{2}.

Passo 9

Cheque rápido (substituir na equação original) para ter confiança:
  • Primeira equação original: 2x-4y+z.
    Substituindo x=-\tfrac{17}{2}, y=-\tfrac{26}{3}, z=-\tfrac{35}{3}:
2\left(-\frac{17}{2}\right) -4\left(-\frac{26}{3}\right) + \left(-\frac{35}{3}\right) = -17 + \frac{104}{3} - \frac{35}{3} = -17 + \frac{69}{3} = -17 + 23 = 6,
confere.
  • Segunda equação original: -4x + 3z.
-4\left(-\frac{17}{2}\right) + 3\left(-\frac{35}{3}\right) = 34 -35 = -1,
confere.
  • Terceira equação: y - z = -\tfrac{26}{3} - (-\tfrac{35}{3}) = \tfrac{9}{3} = 3, confere.
Tudo bate, temos solução única.

Resposta

x = -\dfrac{17}{2}
y = -\dfrac{26}{3}
z = -\dfrac{35}{3}

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