Se A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\\\ 3 & -2\end{array}\right], determine a matriz (A B)^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes matrizes (peguei estes dados diretamente do enunciado):
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}
O que se pede: determinar (AB)^{-1}.]

Passo 2

Fato útil (justificativa rápida): para matrizes quadradas invertíveis vale
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Prova curta: multiplicando AB por B^{-1}A^{-1} obtemos
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I,
logo B^{-1}A^{-1} é a inversa de AB.

Passo 3

Para aplicar a identidade acima precisamos de B^{-1}. Como B é 2\times2, usamos a fórmula geral: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
onde ad-bc é o determinante de M. Aqui, para B temos a=2, b=5, c=3, d=-2.]

Passo 4

Calcular o determinante de B:
\det(B)=2\cdot(-2)-5\cdot3=-4-15=-19.
Aplicando a fórmula,
B^{-1}=\frac{1}{-19}\begin{pmatrix}-2 & -5\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos B^{-1}A^{-1}. Para facilitar, multiplico primeiro a matriz inteira do numerador de B^{-1} por A^{-1} e depois aplico o fator escalar 1/(-19). Definindo
M=\begin{pmatrix}-2 & -5\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix}, \qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix},
calculo P=M A^{-1}. Entradas de P:
Entrada P_{11}: primeira linha de M vezes primeira coluna de A^{-1}:
P_{11}=(-2)\cdot 3 + (-5)\cdot 1 = -6-5=-11.
Entrada P_{12}: primeira linha de M vezes segunda coluna de A^{-1}:
P_{12}=(-2)\cdot 2 + (-5)\cdot 3 = -4-15=-19.
Entrada P_{21}: segunda linha de M vezes primeira coluna de A^{-1}:
P_{21}=(-3)\cdot 3 + 2\cdot 1 = -9+2=-7.
Entrada P_{22}: segunda linha de M vezes segunda coluna de A^{-1}:
P_{22}=(-3)\cdot 2 + 2\cdot 3 = -6+6=0.
Portanto
P=\begin{pmatrix}-11 & -19\\[4pt]-7 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora aplico o fator escalar 1/(-19) vindo de B^{-1}:
B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{-19}P=\frac{1}{-19}\begin{pmatrix}-11 & -19\\[4pt]-7 & 0\end{pmatrix}.
Simplificando cada entrada:
\frac{-11}{-19}=\frac{11}{19},\qquad \frac{-19}{-19}=1,\qquad \frac{-7}{-19}=\frac{7}{19},\qquad \frac{0}{-19}=0.
Assim
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{11}{19} & 1\\[6pt]\dfrac{7}{19} & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

(AB)^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{11}{19} & 1\\[6pt]\dfrac{7}{19} & 0\end{pmatrix}]

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