Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
C=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 3 \\\\ 1 & -1 & 4 \\\\ 3 & 5 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz C usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
C=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\[4pt] 1 & -1 & 4 \\[4pt] 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}.
O que se quer encontrar é \det\text{(C)}.]

Passo 2

O que é o desenvolvimento de Laplace (explicação didática)?
  • Para uma matriz quadrada \,A=(a_{ij}) de ordem n, o desenvolvimento de Laplace ao longo da linha i diz que
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{\,i+j}\,a_{ij}\,\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a menor matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j.
  • O fator (-1)^{\,i+j} chama-se sinal do cofator. O produto (-1)^{\,i+j}\det(M_{ij}) é o cofator C_{ij}.
  • Para matrizes 2\times2, a regra é simples: para \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vale
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Vou aplicar essas ideias passo a passo à matriz C.

Passo 3

Escolha da linha/coluna para expandir (estratégia):
  • É conveniente escolher uma linha ou coluna que contenha zeros, porque termos com a_{ij}=0 não contribuem.
  • Na matriz C a primeira linha tem um zero ( c_{12}=0), então vou desenvolver pela primeira linha ( i=1). Assim
\det\text{(C)}=\sum_{j=1}^{3} (-1)^{1+j}\,c_{1j}\,\det(M_{1j}) = c_{11}C_{11}+c_{12}C_{12}+c_{13}C_{13},
onde c_{1j} são os elementos da primeira linha e C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}).

Passo 4

Calcular o termo correspondente a j=1 (posição (1,1)):
  • O elemento é c_{11}=-2.
  • A menor M_{11} é obtida riscando a linha 1 e a coluna 1, ficando a matriz 2\times2
M_{11}=\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt] 5 & 6\end{pmatrix}.
  • Aplicando a regra do 2\times2:
\det(M_{11}) = (-1)\cdot 6 - 4\cdot 5 = -6 - 20 = -26.
  • O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11}) = (+1)\cdot (-26) = -26.
  • A contribuição deste termo ao determinante é
c_{11}C_{11}=(-2)\cdot(-26)=52.]

Passo 5

Calcular o termo correspondente a j=2 (posição (1,2)):
  • O elemento é c_{12}=0. Pelo fato de multiplicar, sua contribuição é imediatamente
c_{12}C_{12}=0\cdot C_{12}=0.
Não é necessário calcular \det(M_{12}) porque o fator c_{12} anula o termo.

Passo 6

Calcular o termo correspondente a j=3 (posição (1,3)):
  • O elemento é c_{13}=3.
  • A menor M_{13} é obtida riscando a linha 1 e a coluna 3, ficando
M_{13}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}.
  • Determinante do 2\times2:
\det(M_{13}) = 1\cdot 5 - (-1)\cdot 3 = 5 + 3 = 8.
  • Cofator:
C_{13}=(-1)^{1+3}\det(M_{13}) = (-1)^{4}\cdot 8 = (+1)\cdot 8 = 8.
  • Contribuição ao determinante:
c_{13}C_{13}=3\cdot 8 = 24.]

Passo 7

Somar todas as contribuições obtidas pela expansão na primeira linha:
\det\text{(C)}=52 + 0 + 24 = 76.
Portanto o determinante da matriz C é \,76.

Resposta

\det\text{(C)}=76

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