Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
O que se quer encontrar é
.]
Passo 2
O que é o desenvolvimento de Laplace (explicação didática)?
- Para uma matriz quadrada
de ordem , o desenvolvimento de Laplace ao longo da linha diz que
onde
é a menor matriz obtida de
removendo a linha
e a coluna
.
- O fator
chama-se sinal do cofator. O produto é o cofator . - Para matrizes
, a regra é simples: para vale
Vou aplicar essas ideias passo a passo à matriz
.
Passo 3
Escolha da linha/coluna para expandir (estratégia):
- É conveniente escolher uma linha ou coluna que contenha zeros, porque termos com
não contribuem. - Na matriz
a primeira linha tem um zero ( ), então vou desenvolver pela primeira linha ( ). Assim
onde
são os elementos da primeira linha e
.
Passo 4
Calcular o termo correspondente a
(posição
):
- O elemento é
. - A menor
é obtida riscando a linha e a coluna , ficando a matriz
- Aplicando a regra do
:
- O cofator é
- A contribuição deste termo ao determinante é
Passo 5
Calcular o termo correspondente a
(posição
):
- O elemento é
. Pelo fato de multiplicar, sua contribuição é imediatamente
Não é necessário calcular
porque o fator
anula o termo.
Passo 6
Calcular o termo correspondente a
(posição
):
- O elemento é
. - A menor
é obtida riscando a linha e a coluna , ficando
- Determinante do
:
- Cofator:
- Contribuição ao determinante:
Passo 7
Somar todas as contribuições obtidas pela expansão na primeira linha:
Portanto o determinante da matriz
é
.