Se possível, determine a matriz inversa das seguintes matrizes:
(d) \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se possível, a matriz inversa da matriz dada. A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Informações relevantes:
  • Temos uma 3\times3 matriz A.
  • Quer-se encontrar A^{-1}, ou seja, a matriz que satisfaz A A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3.
  • Se a matriz for inversível (ou seja, existir A^{-1}), devemos retorná-la; caso contrário, indicar que não existe.

Passo 2

O que eu vou fazer (plano de ataque — só para organizar a cabeça):
  • Usar o método de eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares em linhas sobre a matriz aumentada \left[A\mid I\right]. Esse método é prático para calcular inversa manualmente e evita calcular determinante separadamente.
    Breve explicação do método (passo-a-passo conceitual):
  • Monta-se a matriz aumentada \left[A\mid I\right].
  • Aplica-se operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até transformar o bloco esquerdo em I.
  • Quando o lado esquerdo virar I, o lado direito será A^{-1}.
  • As operações preservam a equivalência linear; se não for possível transformar o lado esquerdo em I (por exemplo, surgir uma linha nula), a matriz não tem inversa.

Passo 3

Montar a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Zerar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
Cálculo e justificativa: subtrair a primeira linha da segunda anula a primeira coluna da segunda linha.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Usar R_2 para zerar o elemento da segunda coluna na terceira linha: faço R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Cálculo e justificativa: R_2 tem -1 na segunda coluna, somando com R_3 que tem +1 anula essa posição.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Normalizar o pivô da segunda linha: multiplico a segunda linha por -1, isto é R_2 \leftarrow -R_2, para obter pivô 1 na posição (2,2).
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Zerar os elementos na coluna 2, exceto o pivô. Em particular, zerar o 2 na primeira linha: faço R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo: subtrair duas vezes a segunda linha da primeira elimina a entrada 2 em (1,2).
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 8

Zerar os elementos na coluna 3 acima do pivô da terceira linha. Em particular, eliminar o 3 em (1,3): faço R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3.
Cálculo: subtrai-se três vezes a terceira linha da primeira, assim a terceira coluna na primeira linha vai para zero.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 9

Agora o bloco esquerdo é a identidade I_3. O bloco direito é, por construção, a inversa A^{-1}. Escrevendo A^{-1} explicitamente:
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Resposta

\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right]

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