Quer-se encontrar A^{-1}, ou seja, a matriz que satisfaz A A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3.
Se a matriz for inversível (ou seja, existir A^{-1}), devemos retorná-la; caso contrário, indicar que não existe.
Passo 2
O que eu vou fazer (plano de ataque — só para organizar a cabeça):
Usar o método de eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares em linhas sobre a matriz aumentada \left[A\mid I\right]. Esse método é prático para calcular inversa manualmente e evita calcular determinante separadamente.
Breve explicação do método (passo-a-passo conceitual):
Monta-se a matriz aumentada \left[A\mid I\right].
Aplica-se operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até transformar o bloco esquerdo em I.
Quando o lado esquerdo virar I, o lado direito será A^{-1}.
As operações preservam a equivalência linear; se não for possível transformar o lado esquerdo em I (por exemplo, surgir uma linha nula), a matriz não tem inversa.
Zerar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
Cálculo e justificativa: subtrair a primeira linha da segunda anula a primeira coluna da segunda linha.
Resultado:
Usar R_2 para zerar o elemento da segunda coluna na terceira linha: faço R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Cálculo e justificativa: R_2 tem -1 na segunda coluna, somando com R_3 que tem +1 anula essa posição.
Resultado:
Zerar os elementos na coluna 2, exceto o pivô. Em particular, zerar o 2 na primeira linha: faço R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo: subtrair duas vezes a segunda linha da primeira elimina a entrada 2 em (1,2).
Resultado:
Zerar os elementos na coluna 3 acima do pivô da terceira linha. Em particular, eliminar o 3 em (1,3): faço R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3.
Cálculo: subtrai-se três vezes a terceira linha da primeira, assim a terceira coluna na primeira linha vai para zero.
Resultado: