a) A matriz A é simétrica? diagonal?
b) Sabemos que o polinômio característico de A: P(\lambda)=(\lambda-4)^{\prime} \lambda, Encontre uma matriz ortogonal P tal que P^{-1} A P seja diagonal. Quem é a matriz?
e diz que o polinômio característico é \,P(\lambda)=(\lambda-4)^3\lambda. As perguntas são:
a) A matriz A é simétrica? É diagonal?
b) Encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^{-1}AP seja diagonal — qual é essa matriz?
Observação importante (para continuar): olhando a matriz dada, o elemento (1,3) vale 2 enquanto (3,1) vale 1; isso faz a matriz, tal como escrita, NÃO ser simétrica. Porém o enunciado afirma que o polinômio característico é (\lambda-4)^3\lambda e pede uma diagonalização ortogonal — isso só faz sentido se A for real simétrica (teorema espectral). Portanto há uma incompatibilidade entre os números escritos e a informação do polinômio; vou assumir que houve um erro de digitação e que o termo correto em (1,3) é 1, de modo que a matriz pretendida é
a qual é consistente com \,P(\lambda)=(\lambda-4)^3\lambda. Vou resolver assumindo essa matriz (se a sua matriz original realmente tem um 2 em (1,3), a parte (b) não pode ser feita por ortogonalidade; me avise se esse for o caso).
Passo 2
O que significa ser simétrica e ser diagonal?
Uma matriz real A=(a_{ij}) é simétrica se a_{ij}=a_{ji} para todos i,j. Na prática comparamos entradas espelhadas sobre a diagonal principal.
Uma matriz é diagonal quando todos os elementos fora da diagonal principal são zero; isto é, tem forma \operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots).
Para a matriz corrigida escrita acima, comparando entradas espelhadas temos (por exemplo) (1,3)=(3,1)=1, (1,2)=(2,1)=-1, etc.; logo ela é simétrica. A matriz não é diagonal porque existem entradas fora da diagonal que são não nulas (por exemplo -1 em (1,2)).
Passo 3
Por que podemos procurar uma matriz ortogonal P que diagonalize A?
Teorema espectral (explicado de forma simples): toda matriz real simétrica pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal. Ou seja, existe uma base ortonormal de \mathbb{R}^n formada por vetores próprios de A. Se colocamos esses vetores próprios normalizados como colunas de P, então P é ortogonal (P^{-1}=P^{T}) e
P^{T} A P = D,
onde D é diagonal com os autovalores de A na diagonal. Portanto o procedimento prático é:
Encontrar autovalores (já dados: 4 com multiplicidade 3 e 0 com multiplicidade 1).
Os vetores u^{(1)},u^{(2)},u^{(3)},u^{(4)} formam uma base ortonormal de autovetores.
Passo 7
Construir a matriz ortogonal P e verificar a diagonalização.
Colocamos como colunas de P os vetores normalizados na ordem em que queremos os autovalores aparecendo na diagonal (vou colocar primeiro os três autovetores com autovalor 4 e por fim o autovetor com autovalor 0). Assim
Por construção P tem colunas ortonormais, logo P é ortogonal e P^{-1}=P^{T}. Também por construção cada coluna é um autovetor: se chamarmos D=P^{T}AP, então
D=\operatorname{diag}(4,4,4,0).
Isso responde a parte (b): P diagonaliza A ortogonalmente.]
Passo 8
Resumo prático do que fizemos e lembretes para a prova (dica direta):
Para diagonalizar ortogonalmente, procure autovetores mutuamente ortogonais (muitas vezes vetores do tipo (1,1,1,1), (1,-1,0,0), (0,0,1,-1) etc. aparecem em matrizes com blocos ou muitos ±1).
Normalize-os para montar P.
Lembre-se: matriz simétrica ⇔ existe P ortogonal tal que P^{T}AP é diagonal.
Resposta
a) Sim; não (a matriz não é diagonal).
b) Uma matriz ortogonal que diagonaliza A é