A=\left[\begin{array}{rrrr}3 & -1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 & -1 \\\\ 1 & 1 & -1 & 3\end{array}\right]
a) A matriz Aé simétrica?
b) Sabemos que o polínômio caracteristico de A : P(\lambda)=(\lambda-4)^{3} \lambda, Encontre uma matriz ortogonal P tal que P^{-1} A P seja diagonal. Quem Po matriz diagonal?
e informa que o polinômio característico é P(\lambda)=(\lambda-4)^3\lambda. As perguntas são:
(a) A matriz A é simétrica?
(b) Encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^{-1}AP seja diagonal, e qual é essa matriz diagonal?
Vou resolver passo a passo, explicando cada conceito necessário.]
Passo 2
(a) Verificando simetria: uma matriz quadrada A é simétrica se A^T=A. Transpondo A trocam-se linhas por colunas; aqui os elementos fora da diagonal são:
posição (1,2) vale -1 e posição (2,1) também vale -1;
posição (1,3) vale 1 e (3,1) vale 1;
posição (1,4) vale 1 e (4,1) vale 1;
posição (2,3) vale 1 e (3,2) vale 1;
posição (2,4) vale 1 e (4,2) vale 1;
posição (3,4) vale -1 e (4,3) vale -1.
Como todos os pares simétricos coincidem, temos A^T=A. Portanto, sim: A é simétrica.
Comentário didático rápido: matrizes simétricas reais têm propriedades ótimas — por exemplo, seus autovalores são reais e existe uma base ortonormal de autovetores (mais sobre isso nos próximos passos).
Passo 3
Usarei a informação do polinômio característico: P(\lambda)=(\lambda-4)^3\lambda. Isso nos dá os autovalores e suas multiplicidades:
\lambda=4 com multiplicidade algébrica 3.
\lambda=0 com multiplicidade algébrica 1.
Teoria usada (explicada): para uma matriz real e simétrica, o Teorema Espectral garante que existe uma base ortonormal de autovetores. Assim podemos escolher 4 autovetores mutuamente ortogonais (e normalizá-los) e formar uma matriz ortogonal P cujas colunas são esses autovetores normalizados; então P^{-1}AP=P^T A P será diagonal com os autovalores na diagonal.
Passo 4
Agora vamos encontrar autovetores de cada autovalor. Primeiro, autovetor óbvio para \lambda=4: o vetor com todas entradas iguais.
Subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se 4x_1-4x_2=0\Rightarrow x_1=x_2\]. Subtraindo a quarta da terceira obtém-se \(4x_3-4x_4=0\Rightarrow x_3=x_4. Substituindo em uma equação, por exemplo na primeira:
Precisamos de mais dois autovetores associados a \lambda=4 (porque multiplicidade algébrica é 3). Buscaremos vetores ortogonais aos já encontrados. Bons candidatos simples são vetores diferença com zeros nas outras componentes. Testemos
Porque as colunas são ortonormais, P é ortogonal, ou seja P^{-1}=P^T.]
Passo 9
Conclusão sobre a diagonalização: como as colunas de P são autovetores unitários correspondentes, temos
P^{-1}AP = P^T A P = \operatorname{diag}(4,4,4,0).
A ordem dos autovalores na diagonal corresponde à ordem das colunas de P; escolhi colocar os três autovalores 4 nas três primeiras entradas e o 0 na última.
Resposta
(a) Sim, A é simétrica.
(b) Uma matriz ortogonal P e a matriz diagonal correspondente são: