Sejam
e
ideais
.
. Mostre que
par todo
e
.
9. Seja
é derivavel e
é continua
. No anel
defina os conjuntos:
é um ideal de
? J é um ideal de
? Por que?
9. Seja
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
-
Dados iniciais (parte geral):
e são ideais em e . Pede-se mostrar que para todo e . -
Dados iniciais (parte específica):
é o anel das funções reais diferenciáveis com derivada contínua, com soma e produto ponto a ponto. Define-se Pergunta-se:é um ideal de ? é um ideal de ? Justificar.
Passo 2
Definições e observações que vamos usar (explicadas devagar):
- Um subconjunto
é ideal (do tipo usado aqui) se e somente se: -
é subgrupo aditivo de : isto é, , e para quaisquer tem-se . -
é estável por multiplicação por elementos de à esquerda e à direita: para todo e todo vale e . (Estamos assumindo ideais bilaterais, que é o caso usual em álgebra elementar.)
-
- Observação simples: se
e , então porque é ideal (multiplicação por elemento conserva ), e também porque é ideal (multiplicação por conserva ). Assim . Esta observação já indica a ideia da prova do primeiro item; vamos detalhar no próximo passo.
Passo 3
Prova do item geral (mostrar que
para todo
,
):
- Tome quaisquer
e . - Como
é ideal e , o produto pertence a . - Como
é ideal e , o produto pertence a . - Logo
. Mas por hipótese , então . - Conclusão: para quaisquer
e tem-se . - Observação importante: essa demonstração usou que
e são ideais bilaterais (ou, equivalentemente, que para e tem-se e ). Se só fossem ideais à esquerda ou só à direita, seria preciso adaptar a afirmação; aqui assumimos a noção usual de ideal bilateral.
Passo 4
Agora vamos analisar
e
em
. Primeiro, relembrando a regra do produto para derivadas (que vamos usar várias vezes):
- Para
vale a regra do produto e avaliando em obtemos
Passo 5
Verificação se
é ideal:
- Primeiro,
é subgrupo aditivo: se então , logo . O elemento zero (função zero) tem derivada zero, então . Portanto é subgrupo aditivo. - Agora o teste decisivo: estabilidade por multiplicação por quaisquer elementos de
. Precisamos que, para todo e todo , tenha ; isto é, que sempre. Pela regra do produto, Esse termo nem sempre é zero: depende de e de . Para ver que a estabilidade falha, basta um contraexemplo concreto. - Contraexemplo simples: tome
. Então porque para todo e em particular ; contudo . Tome . Então e . Calculando, Portanto . Assim não é estável por multiplicação por elementos arbitrários de , logo não é ideal. - Conclusão:
não é ideal em .
Passo 6
Verificação se
é ideal:
- Primeiro,
é subgrupo aditivo: se então e . O zero pertence a . Logo é subgrupo aditivo. - Agora verificação da estabilidade por multiplicação por funções arbitrárias: tome
e . Temos e pela regra do produto Assim para todo . Pelo mesmo raciocínio (produto ponto a ponto é comutativo aqui, mas mesmo sem comutatividade o argumento com os valores em funciona igual). - Conclusão:
é ideal em .
Passo 7
Resumo didático rápido (para fixar na prova):
- A razão do fato geral (Passo 3) é que um produto
pertence simultaneamente a (porque é ideal e multiplica-se por ) e a (porque é ideal e multiplica-se por ); então o produto cai na interseção que é só . - No anel
, a condição sozinha (conjunto ) não é suficiente para garantir fechamento sob multiplicação por funções arbitrárias, porque o termo pode introduzir um valor não zero. Já a condição dupla (conjunto ) anula ambos os termos da regra do produto, garantindo fechamento e sendo assim um ideal.
Resposta
Para quaisquer
e
,
.