Sejam I e J ideais \mathrm{em}(A,+,. ) onde I \cap J=\{0\}. Mostre que x . y=0 par todo x \in I e y \in J.
9. Seja C^{1}=C^{1}(\mathbb{R})=\left\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f\right. é derivavel e f^{\prime} é continua \}. No anel \left(C^{1},+,.\right) defina os conjuntos:
I=\left\{f \in C^{1} ; f^{\prime}(1)=0\right\} ; J=\left\{f \in C^{1} ; f(1)=f^{\prime}(1)=0\right\}
I é um ideal de C^{1} ? J é um ideal de C^{1} ? Por que?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados iniciais (parte geral): I e J são ideais em (A,+,\cdot) e I\cap J=\{0\}. Pede-se mostrar que x\cdot y=0 para todo x\in I e y\in J.
  • Dados iniciais (parte específica): C^{1}=C^{1}(\mathbb{R}) é o anel das funções reais diferenciáveis com derivada contínua, com soma e produto ponto a ponto. Define-se
    I=\{f\in C^{1} \mid f'(1)=0\}, \qquad J=\{f\in C^{1} \mid f(1)=f'(1)=0\}.
    Pergunta-se: I é um ideal de C^{1}? J é um ideal de C^{1}? Justificar.

Passo 2

Definições e observações que vamos usar (explicadas devagar):
  • Um subconjunto K\subseteq A é ideal (do tipo usado aqui) se e somente se:
    1. K é subgrupo aditivo de (A,+): isto é, 0\in K, e para quaisquer u,v\in K tem-se u-v\in K.
    2. K é estável por multiplicação por elementos de A à esquerda e à direita: para todo a\in A e todo k\in K vale a\cdot k\in K e k\cdot a\in K. (Estamos assumindo ideais bilaterais, que é o caso usual em álgebra elementar.)
  • Observação simples: se x\in I e y\in J, então x\cdot y\in I porque I é ideal (multiplicação por elemento y\in A conserva I), e também x\cdot y\in J porque J é ideal (multiplicação por x\in A conserva J). Assim x\cdot y\in I\cap J. Esta observação já indica a ideia da prova do primeiro item; vamos detalhar no próximo passo.

Passo 3

Prova do item geral (mostrar que x\cdot y=0 para todo x\in I, y\in J):
  • Tome quaisquer x\in I e y\in J.
  • Como I é ideal e y\in A, o produto x\cdot y pertence a I.
  • Como J é ideal e x\in A, o produto x\cdot y pertence a J.
  • Logo x\cdot y\in I\cap J. Mas por hipótese I\cap J=\{0\}, então x\cdot y=0.
  • Conclusão: para quaisquer x\in I e y\in J tem-se x\cdot y=0.
  • Observação importante: essa demonstração usou que I e J são ideais bilaterais (ou, equivalentemente, que para k\in K e a\in A tem-se a\cdot k\in K e k\cdot a\in K). Se só fossem ideais à esquerda ou só à direita, seria preciso adaptar a afirmação; aqui assumimos a noção usual de ideal bilateral.

Passo 4

Agora vamos analisar I e J em C^{1}. Primeiro, relembrando a regra do produto para derivadas (que vamos usar várias vezes):
  • Para f,g\in C^{1} vale a regra do produto (f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g',e avaliando em 1 obtemos (f\cdot g)'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1).

Passo 5

Verificação se I=\{f\in C^{1}\mid f'(1)=0\} é ideal:
  • Primeiro, I é subgrupo aditivo: se f,g\in I então (f-g)'(1)=f'(1)-g'(1)=0-0=0, logo f-g\in I. O elemento zero (função zero) tem derivada zero, então 0\in I. Portanto I é subgrupo aditivo.
  • Agora o teste decisivo: estabilidade por multiplicação por quaisquer elementos de C^{1}. Precisamos que, para todo h\in C^{1} e todo f\in I, tenha h\cdot f\in I; isto é, que (h\cdot f)'(1)=0 sempre. Pela regra do produto, (h\cdot f)'(1)=h'(1)f(1)+h(1)f'(1)=h'(1)f(1)+h(1)\cdot 0 = h'(1)f(1).Esse termo nem sempre é zero: depende de h'(1) e de f(1). Para ver que a estabilidade falha, basta um contraexemplo concreto.
  • Contraexemplo simples: tome f(x)\equiv 1. Então f\in I porque f'(x)=0 para todo x e em particular f'(1)=0; contudo f(1)=1\neq 0. Tome h(x)=x. Então h\in C^{1} e h'(1)=1. Calculando, (h\cdot f)'(1)=h'(1)f(1)=1\cdot 1 = 1 \neq 0.Portanto h\cdot f\notin I. Assim I não é estável por multiplicação por elementos arbitrários de C^{1}, logo I não é ideal.
  • Conclusão: I não é ideal em C^{1}.

Passo 6

Verificação se J=\{f\in C^{1}\mid f(1)=f'(1)=0\} é ideal:
  • Primeiro, J é subgrupo aditivo: se f,g\in J então (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0 e (f+g)'(1)=f'(1)+g'(1)=0+0=0. O zero pertence a J. Logo é subgrupo aditivo.
  • Agora verificação da estabilidade por multiplicação por funções arbitrárias: tome h\in C^{1} e f\in J. Temos (h\cdot f)(1)=h(1)f(1)=h(1)\cdot 0 = 0,e pela regra do produto (h\cdot f)'(1)=h'(1)f(1)+h(1)f'(1)=h'(1)\cdot 0 + h(1)\cdot 0 = 0.Assim h\cdot f\in J para todo h\in C^{1}. Pelo mesmo raciocínio f\cdot h\in J (produto ponto a ponto é comutativo aqui, mas mesmo sem comutatividade o argumento com os valores em 1 funciona igual).
  • Conclusão: J é ideal em C^{1}.

Passo 7

Resumo didático rápido (para fixar na prova):
  • A razão do fato geral (Passo 3) é que um produto x\cdot y pertence simultaneamente a I (porque I é ideal e multiplica-se por y) e a J (porque J é ideal e multiplica-se por x); então o produto cai na interseção que é só \{0\}.
  • No anel C^{1}, a condição f'(1)=0 sozinha (conjunto I) não é suficiente para garantir fechamento sob multiplicação por funções arbitrárias, porque o termo h'(1)f(1) pode introduzir um valor não zero. Já a condição dupla f(1)=f'(1)=0 (conjunto J) anula ambos os termos da regra do produto, garantindo fechamento e sendo assim um ideal.

Resposta

Para quaisquer x\in I e y\in J, x\cdot y=0.
I não é ideal em C^{1}.
J é ideal em C^{1}.

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