Se B=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right], encontre condições sobre a, b, c e d para que A B=B A.
23. A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma matriz B=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] com entradas escalares a,b,c,d (desconhecidas) e fixa a matriz
A pergunta é: quais condições sobre a,b,c,d fazem com que A B = B A?
Lista das informações relevantes: as entradas de B são a,b,c,d; A é conhecida como acima; queremos impor igualdade de matrizes A B e B A.]
Passo 2
Primeiro, lembrando como multiplicar matrizes 2×2: se X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}), a entrada (i,j) do produto XY é
(XY)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} x_{ik}\,y_{kj}.
Isso significa que cada entrada do produto é uma soma de produtos das entradas da linha i de X pelas entradas da coluna j de Y. Vou aplicar essa regra explicitamente para calcular A B e B A.
Passo 3
Calculemos A B. Usando a definição de multiplicação:
a) Entrada (1,1):
(AB)_{11} = 1\cdot a + 1\cdot c = a + c.
b) Entrada (1,2):
(AB)_{12} = 1\cdot b + 1\cdot d = b + d.
c) Entrada (2,1):
(AB)_{21} = 0\cdot a + 1\cdot c = c.
d) Entrada (2,2):
(AB)_{22} = 0\cdot b + 1\cdot d = d.
Portanto
AB=\left[\begin{array}{ll}a+c & b+d \\[4pt] c & d\end{array}\right].]
Passo 4
Agora calculemos B A. De novo, entrada a entrada:
a) Entrada (1,1):
(BA)_{11} = a\cdot 1 + b\cdot 0 = a.
b) Entrada (1,2):
(BA)_{12} = a\cdot 1 + b\cdot 1 = a + b.
c) Entrada (2,1):
(BA)_{21} = c\cdot 1 + d\cdot 0 = c.
d) Entrada (2,2):
(BA)_{22} = c\cdot 1 + d\cdot 1 = c + d.
Logo
BA=\left[\begin{array}{ll}a & a+b \\[4pt] c & c+d\end{array}\right].]
Passo 5
Impondo AB=BA\) igualamos entrada a entrada as duas matrizes obtidas. Isso gera o sistema:
\[\begin{cases} a+c = a,\\[4pt] b+d = a+b,\\[4pt] c = c,\\[4pt] d = c+d. \end{cases}
Agora resolvemos passo a passo:
Da primeira equação a+c=a\] subtraindo \(a dos dois lados obtemos
c=0.
Da segunda equação b+d=a+b subtraindo b dos dois lados obtemos
d=a.
A terceira equação c=c é sempre verdadeira (não dá nova informação).
A quarta equação d=c+d, substituindo c=0 dá d=0+d, que é verdadeira para qualquer d — não contradiz nada e confirma que já usamos toda a informação útil.
Portanto as condições necessárias e suficientes são c=0 e d=a. Em palavras: B deve ser triangular superior com as entradas diagonais iguais. Escrevendo B com essas condições:
B=\left[\begin{array}{ll}a & b \\[4pt] 0 & a\end{array}\right],
onde a e b são livres (podem ser quaisquer escalares), e c e d ficam fixos por c=0, d=a.]