Se B=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right], encontre condições sobre a, b, c e d para que A B=B A.
24. A=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz fixa
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}
e uma matriz genérica
B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
e pede: quais condições sobre \,a,b,c,d, fazem com que AB=BA.
Informações relevantes: as entradas de A e B são as mostradas acima; devemos calcular os produtos AB e BA e igualar as entradas correspondentes.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes (útil na prova): se X e Y são matrizes 2\times2, então a entrada (i,j) de XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} X_{ik}Y_{kj}.
Isto significa: para obter a entrada na linha i e coluna j do produto, multiplica-se componente a componente a linha i de X pela coluna j de Y e soma-se.

Passo 3

Calculemos AB aplicando a fórmula entrada a entrada.
Primeira linha, primeira coluna:
(AB)_{11}=1\cdot a + (-1)\cdot c = a-c.
Primeira linha, segunda coluna:
(AB)_{12}=1\cdot b + (-1)\cdot d = b-d.
Segunda linha, primeira coluna:
(AB)_{21}=(-1)\cdot a + 1\cdot c = -a+c = c-a.
Segunda linha, segunda coluna:
(AB)_{22}=(-1)\cdot b + 1\cdot d = -b+d = d-b.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}a-c & b-d\\[4pt]c-a & d-b\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculemos BA da mesma forma.
Primeira linha, primeira coluna:
(BA)_{11}=a\cdot 1 + b\cdot(-1)=a-b.
Primeira linha, segunda coluna:
(BA)_{12}=a\cdot(-1)+b\cdot 1 = -a+b = b-a.
Segunda linha, primeira coluna:
(BA)_{21}=c\cdot 1 + d\cdot(-1)=c-d.
Segunda linha, segunda coluna:
(BA)_{22}=c\cdot(-1)+d\cdot 1 = -c+d = d-c.
Assim
BA=\begin{pmatrix}a-b & b-a\\[4pt]c-d & d-c\end{pmatrix}.]

Passo 5

Igualando AB e BA entrada a entrada obtemos um sistema de equações:
Da entrada (1,1):
a-c = a-b \quad\Longrightarrow\quad -c = -b \quad\Longrightarrow\quad b=c.
Da entrada (1,2):
b-d = b-a \quad\Longrightarrow\quad -d = -a \quad\Longrightarrow\quad a=d.
As entradas (2,1) e (2,2) dão as mesmas equações (não trazem informação nova), portanto as condições independentes são
a=d \quad\text{e}\quad b=c.

Passo 6

Verificação de suficiência (mostrando que essas condições bastam): suponha a=d e b=c. Então
AB=\begin{pmatrix}a-c & b-d\\[4pt]c-a & d-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-b & b-a\\[4pt]b-a & a-b\end{pmatrix}
e
BA=\begin{pmatrix}a-b & b-a\\[4pt]c-d & d-c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-b & b-a\\[4pt]b-a & a-b\end{pmatrix},
logo AB=BA. Portanto as condições são também suficientes.]

Passo 7

Interpretação final e forma conveniente: as matrizes B que comutam com A são exatamente aquelas da forma
B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]b & a\end{pmatrix},
ou seja, matrizes simétricas com diagonais iguais.]

Resposta

\;a=d e \;b=c

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