A pergunta explícita é: existem escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}A_{1}+c_{2}A_{2}+c_{3}A_{3}=B\;?]
Passo 2
O que significa escrever B como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}? Significa que tomamos três números (escalares) c_{1},c_{2},c_{3} e fazemos a soma matricial ponderada
c_{1}A_{1}+c_{2}A_{2}+c_{3}A_{3}.
Lembre que a soma e a multiplicação por escalar de matrizes são feitas entrada a entrada (ou seja, cada posição (i,j) da matriz resultante é a combinação linear das entradas (i,j) das matrizes originais). Nosso objetivo prático é escrever as equações que surgem ao comparar cada entrada da soma com a correspondente entrada de B e ver se existe solução para c_{1},c_{2},c_{3}.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente a combinação linear entrada a entrada. A primeira linha de cada matriz dá a primeira linha da soma e a segunda linha dá a segunda linha da soma. Calculando:
Agora igualamos essa matriz à matriz B\). Isso gera um sistema de equações obtido entrada a entrada:
da primeira linha:
\[\begin{cases} c_{1}-c_{2}+c_{3}=3,\\[4pt] 2c_{2}+c_{3}=1,\\[4pt] -c_{1}+c_{3}=1, \end{cases}
da segunda linha:
c_{1}+c_{2}=1,
e as outras entradas na segunda linha (primeira e terceira coluna) dão (0=0], que não adicionam informação. Assim o sistema total é \begin{aligned} & (1)\quad c_{1}-c_{2}+c_{3}=3,\\\ & (2)\quad 2c_{2}+c_{3}=1,\\\ & (3)\quad -c_{1}+c_{3}=1,\\\ & (4)\quad c_{1}+c_{2}=1. \end{aligned}]
Passo 5
Vamos tentar resolver o sistema e ver se há solução. Usamos substituição porque é direto e claro. Da equação (3) isolamos c_{3}:
c_{3}=1+c_{1}.
Da equação (4) isolamos c_{2}:
c_{2}=1-c_{1}.
Substituímos essas expressões em (1). Substituindo c_{2}=1-c_{1} e c_{3}=1+c_{1} em (1) obtemos:
c_{1} - (1-c_{1}) + (1+c_{1}) = 3.
Calculando o lado esquerdo passo a passo:
c_{1} -1 + c_{1} +1 + c_{1} = 3c_{1}.
Logo 3c_{1}=3, o que dá
c_{1}=1.
Agora substituímos c_{1}=1 em c_{2}=1-c_{1} e em c_{3}=1+c_{1}:
c_{2}=1-1=0,\qquad c_{3}=1+1=2.
Temos uma proposta de solução (c_{1},c_{2},c_{3})=(1,0,2). Mas devemos verificar se essa tripla satisfaz todas as equações, em particular a equação (2). Substituindo em (2):
2c_{2}+c_{3}=2\cdot 0 + 2 = 2.
A equação (2) exige que isso seja igual a 1. Portanto obtemos 2=1, uma contradição. Logo a tripla encontrada não satisfaz (2).
Passo 6
A contradição mostra que não existe nenhum conjunto de escalares c_{1},c_{2},c_{3} que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente. Em termos práticos, as equações geradas pelas entradas da primeira linha e da segunda linha são inconsistentes entre si: as restrições impostas pelas diferentes colunas não podem ser atendidas ao mesmo tempo por nenhum vetor (c_{1},c_{2},c_{3}). Portanto não é possível escrever B como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.
Resposta
B não pode ser escrita como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.