Escreva B como combinação linear das outras matrizes, se possível.
7. B=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad A_{1}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right],
A_{2}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad A_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever B como combinação linear das matrizes A_{1},A_{2},A_{3}, se isso for possível.
As matrizes fornecidas são:
B=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad A_{2}=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad A_{3}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
A pergunta explícita é: existem escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}A_{1}+c_{2}A_{2}+c_{3}A_{3}=B\;?]

Passo 2

O que significa escrever B como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}? Significa que tomamos três números (escalares) c_{1},c_{2},c_{3} e fazemos a soma matricial ponderada
c_{1}A_{1}+c_{2}A_{2}+c_{3}A_{3}.
Lembre que a soma e a multiplicação por escalar de matrizes são feitas entrada a entrada (ou seja, cada posição (i,j) da matriz resultante é a combinação linear das entradas (i,j) das matrizes originais). Nosso objetivo prático é escrever as equações que surgem ao comparar cada entrada da soma com a correspondente entrada de B e ver se existe solução para c_{1},c_{2},c_{3}.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente a combinação linear entrada a entrada. A primeira linha de cada matriz dá a primeira linha da soma e a segunda linha dá a segunda linha da soma. Calculando:
c_{1}A_{1}+c_{2}A_{2}+c_{3}A_{3} = \begin{pmatrix} c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot(-1) + c_{3}\cdot 1 & c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 2 + c_{3}\cdot 1 & c_{1}\cdot(-1) + c_{2}\cdot 0 + c_{3}\cdot 1 \\[6pt] c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 0 + c_{3}\cdot 0 & c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 1 + c_{3}\cdot 0 & c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 0 + c_{3}\cdot 0 \end{pmatrix}.
Simplificando as entradas:
\begin{pmatrix} c_{1}-c_{2}+c_{3} & 2c_{2}+c_{3} & -c_{1}+c_{3} \\[4pt] 0 & c_{1}+c_{2} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora igualamos essa matriz à matriz B\). Isso gera um sistema de equações obtido entrada a entrada: da primeira linha: \[\begin{cases} c_{1}-c_{2}+c_{3}=3,\\[4pt] 2c_{2}+c_{3}=1,\\[4pt] -c_{1}+c_{3}=1, \end{cases}
da segunda linha:
c_{1}+c_{2}=1,
e as outras entradas na segunda linha (primeira e terceira coluna) dão (0=0], que não adicionam informação. Assim o sistema total é
\begin{aligned} & (1)\quad c_{1}-c_{2}+c_{3}=3,\\\ & (2)\quad 2c_{2}+c_{3}=1,\\\ & (3)\quad -c_{1}+c_{3}=1,\\\ & (4)\quad c_{1}+c_{2}=1. \end{aligned}]

Passo 5

Vamos tentar resolver o sistema e ver se há solução. Usamos substituição porque é direto e claro. Da equação (3) isolamos c_{3}:
c_{3}=1+c_{1}.
Da equação (4) isolamos c_{2}:
c_{2}=1-c_{1}.
Substituímos essas expressões em (1). Substituindo c_{2}=1-c_{1} e c_{3}=1+c_{1} em (1) obtemos:
c_{1} - (1-c_{1}) + (1+c_{1}) = 3.
Calculando o lado esquerdo passo a passo:
c_{1} -1 + c_{1} +1 + c_{1} = 3c_{1}.
Logo 3c_{1}=3, o que dá
c_{1}=1.
Agora substituímos c_{1}=1 em c_{2}=1-c_{1} e em c_{3}=1+c_{1}:
c_{2}=1-1=0,\qquad c_{3}=1+1=2.
Temos uma proposta de solução (c_{1},c_{2},c_{3})=(1,0,2). Mas devemos verificar se essa tripla satisfaz todas as equações, em particular a equação (2). Substituindo em (2):
2c_{2}+c_{3}=2\cdot 0 + 2 = 2.
A equação (2) exige que isso seja igual a 1. Portanto obtemos 2=1, uma contradição. Logo a tripla encontrada não satisfaz (2).

Passo 6

A contradição mostra que não existe nenhum conjunto de escalares c_{1},c_{2},c_{3} que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente. Em termos práticos, as equações geradas pelas entradas da primeira linha e da segunda linha são inconsistentes entre si: as restrições impostas pelas diferentes colunas não podem ser atendidas ao mesmo tempo por nenhum vetor (c_{1},c_{2},c_{3}). Portanto não é possível escrever B como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.

Resposta

B não pode ser escrita como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}.

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