se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| vale -3 , calcule :
\left|\begin{array}{ccc}5 a & 5 b & 5 c \\\\ 5 d & 5 e & 5 f \\\\ 5 & 5 & 5\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá o valor do determinante
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = -3
e pede para calcular o determinante
\left|\begin{array}{ccc} 5a & 5b & 5c \\\\ 5d & 5e & 5f \\\\ 5 & 5 & 5 \end{array}\right|.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil dos determinantes: se multiplicamos todos os elementos de uma linha de uma matriz por um escalar k, o determinante da nova matriz é k vezes o determinante da matriz original. Em símbolos, para uma matriz 2\times2 por exemplo,
\left|\begin{array}{cc} k a & k b \\\ c & d \end{array}\right| = k\left|\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right|.
Isto vem do fato de que o determinante é linear em cada linha (ou coluna) separadamente.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa matriz 3\times3: cada linha da segunda matriz é a primeira matriz multiplicada por 5. Podemos fatorar 5 da primeira linha, depois 5 da segunda e depois 5 da terceira. Escrevendo passo a passo,
\left|\begin{array}{ccc} 5a & 5b & 5c \\\\ 5d & 5e & 5f \\\\ 5 & 5 & 5 \end{array}\right| =5\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\\ 5d & 5e & 5f \\\\ 5 & 5 & 5 \end{array}\right| =5\cdot5\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 5 & 5 & 5 \end{array}\right| =5\cdot5\cdot5\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|.

Passo 4

O produto 5\cdot5\cdot5 é 5^{3}=125. Logo
\left|\begin{array}{ccc} 5a & 5b & 5c \\\\ 5d & 5e & 5f \\\\ 5 & 5 & 5 \end{array}\right| =125\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|.

Passo 5

Substituindo o valor dado do determinante original \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = -3, obtemos
125\cdot(-3) = -375.

Resposta

-375

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