Informações relevantes (regras que vou usar durante o escalonamento):
Somar a um pivô um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c (evitar fazer isso para não ter que ajustar depois).
Depois de levar a matriz a uma forma triangular superior por operações que não alterem o determinante (ou ajustando apenas pelo número de trocas), o determinante é o produto das entradas da diagonal principal vezes os fatores vindos de trocas/escalações feitas.
Passo 2
Começo da eliminação na matriz A. Vou fazer operações do tipo “linha i\leftarrow linha i menos múltiplo) da linha-pivô”, que NÃO alteram o determinante.
Continuação do escalonamento em A. Agora uso R_2 (com pivô 7 em (2,2)) para zerar as entradas abaixo na coluna 2; novamente, as operações são do tipo “linha menos múltiplo de outra linha” e não mudam o determinante.
A matriz está em forma triangular superior (tudo abaixo da diagonal principal é zero). As entradas da diagonal principal são 1,\;7,\;0,\;-1.
Não fiz nenhuma troca de linhas nem escalei linhas por constantes; só somei múltiplos de linhas a outras (operações que mantêm o determinante).
Logo, o determinante é o produto das entradas da diagonal:
\det(A)=1\cdot 7\cdot 0\cdot(-1)=0.
Isso significa que A é singular (determinante zero).
Passo 5
Agora eliminação na matriz B. Relembre: trocar linhas muda o sinal do determinante; somar múltiplos de linhas não altera. Vou escolher operações que facilitem os cálculos.
Para evitar frações iniciais, troco R_1 com R_3 (isto é, R_1\leftrightarrow R_3), porque R_3 tem entrada 1 na primeira coluna e facilita eliminar abaixo. Aviso: essa troca multiplica o determinante por -1.
Após R_1\leftrightarrow R_3 (determinante ganha fator -1):
Continuo o escalonamento de B. Quero zerar entradas na coluna 2 abaixo do pivô 3 em R_2. Primeiro simplifico R_3 e R_4 com combinações de R_2; uso operações do tipo “linha \leftarrow linha - k·(outra linha)”, que NÃO mudam o determinante.
Para evitar frações ao eliminar a entrada 1 em (4,2), faço uma troca R_2\leftrightarrow R_4. Essa troca multiplica o determinante por -1. Lembre que já havia feito uma troca inicial R_1\leftrightarrow R_3, que também multiplicou por -1; portanto após esta segunda troca o efeito conjunto das duas trocas é multiplicar o determinante por (-1)\cdot(-1)=+1 (ou seja, as duas trocas se cancelam quanto ao sinal).
Agora elimino a entrada -17 em (4,3) usando o pivô 6 em (3,3). Faço R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{-17}{6}R_3 = R_4 + \dfrac{17}{6}R_3. Essa é uma soma de múltiplo de linha, então não altera o determinante; produzirá frações, mas tudo bem porque as contas são simples.
Ao longo do processo foram feitas duas trocas de linhas: R_1\leftrightarrow R_3 e depois R_2\leftrightarrow R_4. Cada troca dá fator -1; o produto dos dois fatores é +1. Não escalei nenhuma linha por constantes (apenas somei múltiplos de linhas), portanto não há outros fatores a aplicar.
Quando estiver em forma triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal da matriz triangular.