Use eliminação Gaussiana (escalonamento) para calcular os determinantes das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 5 & -7 & 2 \\\\ 3 & 1 & -5 & 3 \\\\ 2 & 3 & -6 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 0 & 1 & -2 \\\\ 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 2 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede-se calcular os determinantes, usando eliminação gaussiana (escalonamento), das matrizes A e B.
  • As matrizes são:
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 5 & -7 & 2 \\\\ 3 & 1 & -5 & 3 \\\\ 2 & 3 & -6 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 0 & 1 & -2 \\\\ 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes (regras que vou usar durante o escalonamento):
  • Somar a um pivô um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c (evitar fazer isso para não ter que ajustar depois).
  • Depois de levar a matriz a uma forma triangular superior por operações que não alterem o determinante (ou ajustando apenas pelo número de trocas), o determinante é o produto das entradas da diagonal principal vezes os fatores vindos de trocas/escalações feitas.

Passo 2

Começo da eliminação na matriz A. Vou fazer operações do tipo “linha i \leftarrow linha i menos múltiplo) da linha-pivô”, que NÃO alteram o determinante.
Matriz inicial:
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 5 & -7 & 2 \\\\ 3 & 1 & -5 & 3 \\\\ 2 & 3 & -6 & 0 \end{pmatrix}.
Usarei a primeira linha R_1 como pivô ( 1 no lugar (1,1)) e aniquilarei as entradas abaixo dela na primeira coluna:
  1. R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
R_2: (1,5,-7,2) - (1,-2,1,-1) = (0,7,-8,3).
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
R_3: (3,1,-5,3) - 3(1,-2,1,-1) = (0,7,-8,6).
  1. R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
R_4: (2,3,-6,0) - 2(1,-2,1,-1) = (0,7,-8,2).
Após essas operações (que não alteram o determinante), a matriz vira:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 7 & -8 & 3 \\\\ 0 & 7 & -8 & 6 \\\\ 0 & 7 & -8 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Continuação do escalonamento em A. Agora uso R_2 (com pivô 7 em (2,2)) para zerar as entradas abaixo na coluna 2; novamente, as operações são do tipo “linha menos múltiplo de outra linha” e não mudam o determinante.
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
R_3: (0,7,-8,6) - (0,7,-8,3) = (0,0,0,3).
  1. R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
R_4: (0,7,-8,2) - (0,7,-8,3) = (0,0,0,-1).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 7 & -8 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Interpretação final para A.
  • A matriz está em forma triangular superior (tudo abaixo da diagonal principal é zero). As entradas da diagonal principal são 1,\;7,\;0,\;-1.
  • Não fiz nenhuma troca de linhas nem escalei linhas por constantes; só somei múltiplos de linhas a outras (operações que mantêm o determinante).
  • Logo, o determinante é o produto das entradas da diagonal:
\det(A)=1\cdot 7\cdot 0\cdot(-1)=0.
Isso significa que A é singular (determinante zero).

Passo 5

Agora eliminação na matriz B. Relembre: trocar linhas muda o sinal do determinante; somar múltiplos de linhas não altera. Vou escolher operações que facilitem os cálculos.
Matriz inicial:
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 0 & 1 & -2 \\\\ 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Para evitar frações iniciais, troco R_1 com R_3 (isto é, R_1\leftrightarrow R_3), porque R_3 tem entrada 1 na primeira coluna e facilita eliminar abaixo. Aviso: essa troca multiplica o determinante por -1.
Após R_1\leftrightarrow R_3 (determinante ganha fator -1):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 3 & 0 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 3 & 2 \\\\ 2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Eliminação da coluna 1 em B (usando R_1 como pivô). Estas operações não alteram o determinante.
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
R_2: (3,0,1,-2) - 3(1,-1,4,3) = (0,3,-11,-11).
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3: (2,1,3,2) - 2(1,-1,4,3) = (0,3,-5,-4).
  1. R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1:
R_4: (2,2,-1,1) - 2(1,-1,4,3) = (0,4,-9,-5).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 3 & -11 & -11 \\\\ 0 & 3 & -5 & -4 \\\\ 0 & 4 & -9 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 7

Continuo o escalonamento de B. Quero zerar entradas na coluna 2 abaixo do pivô 3 em R_2. Primeiro simplifico R_3 e R_4 com combinações de R_2; uso operações do tipo “linha \leftarrow linha - k·(outra linha)”, que NÃO mudam o determinante.
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
R_3: (0,3,-5,-4) - (0,3,-11,-11) = (0,0,6,7).
  1. R_4 \leftarrow R_4 - R_2:
R_4: (0,4,-9,-5) - (0,3,-11,-11) = (0,1,2,6).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 3 & -11 & -11 \\\\ 0 & 0 & 6 & 7 \\\\ 0 & 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 8

Para evitar frações ao eliminar a entrada 1 em (4,2), faço uma troca R_2\leftrightarrow R_4. Essa troca multiplica o determinante por -1. Lembre que já havia feito uma troca inicial R_1\leftrightarrow R_3, que também multiplicou por -1; portanto após esta segunda troca o efeito conjunto das duas trocas é multiplicar o determinante por (-1)\cdot(-1)=+1 (ou seja, as duas trocas se cancelam quanto ao sinal).
Após R_2\leftrightarrow R_4:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 6 \\\\ 0 & 0 & 6 & 7 \\\\ 0 & 3 & -11 & -11 \end{pmatrix}.

Passo 9

Eliminar a entrada em (4,2) usando o novo R_2 (pivô 1). Operação não altera o determinante.
R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2:
R_4: (0,3,-11,-11) - 3(0,1,2,6) = (0,0,-17,-29).
Matriz atual:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 6 \\\\ 0 & 0 & 6 & 7 \\\\ 0 & 0 & -17 & -29 \end{pmatrix}.

Passo 10

Agora elimino a entrada -17 em (4,3) usando o pivô 6 em (3,3). Faço
R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{-17}{6}R_3 = R_4 + \dfrac{17}{6}R_3. Essa é uma soma de múltiplo de linha, então não altera o determinante; produzirá frações, mas tudo bem porque as contas são simples.
Cálculo da nova quarta linha:
  • terceira componente: -17 + \dfrac{17}{6}\cdot 6 = -17 + 17 = 0.
  • quarta componente: -29 + \dfrac{17}{6}\cdot 7 = -29 + \dfrac{119}{6} = \dfrac{-174+119}{6} = -\dfrac{55}{6}.
Assim a matriz triangular superior final é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 6 \\\\ 0 & 0 & 6 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{55}{6} \end{pmatrix}.

Passo 11

Cálculo do determinante de B.
  • Ao longo do processo foram feitas duas trocas de linhas: R_1\leftrightarrow R_3 e depois R_2\leftrightarrow R_4. Cada troca dá fator -1; o produto dos dois fatores é +1. Não escalei nenhuma linha por constantes (apenas somei múltiplos de linhas), portanto não há outros fatores a aplicar.
  • Quando estiver em forma triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal da matriz triangular.
Produto das diagonais:
\det(B)=1\cdot 1\cdot 6\cdot\left(-\dfrac{55}{6}\right) = -55.
Portanto \det(B)=-55.

Resposta

\det(A)=0
\det(B)=-55

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