Seja A\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}2 a & 2 b & 2 c \\g & h & i \\d & e & f\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente o valor do determinante da matriz original. Escrevo isso com precisão (peguei estes dados do enunciado):
A\!\begin{bmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{bmatrix}=10.
O que se pede é o valor do determinante
\left|\begin{array}{rrr}2a & 2b & 2c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{array}\right|.
Resumo do que temos e do que se pede:
Dado: \displaystyle \det\!\begin{bmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{bmatrix}=10.
Pedir: \displaystyle \det\!\begin{bmatrix}2a & 2b & 2c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{bmatrix}.
Passo 2
Propriedade 1 (multiplicação de uma linha por escalar). Se numa matriz se multiplica uma linha por um número k, o determinante da nova matriz é k vezes o determinante da matriz original. Em símbolo:
\det(\text{matriz com linha }r\text{ multiplicada por }k)=k\cdot\det(\text{matriz original}).
Explicando de forma concreta: pense numa matriz 2\times2
\begin{bmatrix}x & y\\\ u & v\end{bmatrix}.
Seu determinante é \,xv-yu. Se multiplicarmos a primeira linha por 2, a nova matriz é \begin{bmatrix}2x & 2y\\\ u & v\end{bmatrix} e o determinante vira 2x\cdot v-2y\cdot u=2(xv-yu)=2 vezes o determinante original. Isso ilustra a propriedade.
Passo 3
Propriedade 2 (troca de duas linhas). Trocar duas linhas de posição muda o sinal do determinante: cada troca simples multiplica o determinante por -1. Em símbolos, se B é obtida de A trocando as linhas i e j, então
\det(B)=-\det(A).
Exemplo rápido: para a matriz 2\times2 acima, trocar as linhas dá \begin{bmatrix}u & v\\\ x & y\end{bmatrix} cujo determinante é u y - v x = -(xv-yu).
Passo 4
Identificar as operações que transformam a matriz original na matriz pedida.
Começamos da matriz original
M=\begin{bmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{bmatrix},
com \det(M)=10.
A matriz pedida é
M'=\begin{bmatrix}2a & 2b & 2c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{bmatrix}.
Para chegar de M a M' podemos ver duas operações claras:
Trocar a segunda e a terceira linha de M. Isso produz
\begin{bmatrix}a & b & c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{bmatrix},
cujo determinante é -\det(M) por causa da Propriedade 2.
2. Multiplicar a primeira linha por 2. Aplicando a Propriedade 1 a essa matriz (apenas a primeira linha multiplicada por 2) multiplica o determinante por 2.
Passo 5
Aplicar as propriedades em sequência (a ordem das operações não altera o fator total final, apenas a conta de sinais e fatores):
Após a troca das linhas 2 e 3:
\det\!\begin{bmatrix}a & b & c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{bmatrix}=-\det(M)=-10.
Agora multiplicando a primeira linha por 2:
\det\!\begin{bmatrix}2a & 2b & 2c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{bmatrix} =2\cdot\det\!\begin{bmatrix}a & b & c \\\ g & h & i \\\ d & e & f\end{bmatrix} =2\cdot(-10)=-20.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (pra você decorar o raciocínio):
Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.
Trocar duas linhas troca o sinal do determinante.
Aqui houve uma troca de linhas (sinal -1) e um fator 2 na primeira linha, então o fator total é 2\cdot(-1)=-2. Como o determinante original vale 10, o resultado é -2\cdot10=-20.