Sejam A, B \in M_{n}(\Re) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det} (3A)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Temos A,B\in M_{n}(\Re) (matrizes quadradas n\times n).
  • Foi informado que \det A = 4 e \det B = 5.
  • A pergunta é: determinar \det(3A).
Observação: a informação \det B=5 não é necessária para calcular \det(3A); ela está aí mas não será usada.

Passo 2

Entender o que significa multiplicar a matriz A por um escalar 3.
Quando escrevemos 3A, estamos multiplicando cada entrada de A por 3. Isso equivale a multiplicar cada linha (ou cada coluna) de A por 3. Por exemplo, se A tem linhas r_1,r_2,\dots,r_n, então 3A tem linhas 3r_1,3r_2,\dots,3r_n.

Passo 3

Fato essencial sobre determinante (propriedade de escala numa linha):
Se uma única linha de uma matriz quadrada é multiplicada por um escalar c, então o determinante da matriz resultante é multiplicado por c. Em notação: se A' é obtida de A multiplicando-se a linha i por c, então
\det(A') = c\det(A).
Explicação curta do porquê (intuitiva): o determinante é multilinear nas linhas — linear em cada linha separadamente — então multiplicar uma linha por c puxa um fator c para fora do determinante.

Passo 4

Aplicar a propriedade a todas as linhas:
Como 3A é obtida multiplicando cada uma das n linhas de A por 3, aplicando a propriedade linha a linha obtemos um fator 3 para cada linha. Logo surge o fator 3 elevado a n:
\det(3A) = 3^{n}\det(A).
Esse é o resultado padrão: multiplicar uma matriz n\times n por um escalar c multiplica seu determinante por c^{n}.

Passo 5

Demonstração alternativa (útil para lembrar): usar a matriz escalar 3I.
Considere a matriz 3I, onde I é a matriz identidade n\times n. Tem-se \det(3I)=3^{n} porque 3I é diagonal com todos os n valores diagonais iguais a 3, e o determinante de uma matriz diagonal é o produto das entradas diagonais.
Como (3I)A = 3A e o determinante é multiplicativo, isto é \det(XY)=\det(X)\det(Y), obtemos
\det(3A)=\det(3I\cdot A)=\det(3I)\det(A)=3^{n}\det(A),
confirmando a igualdade do passo anterior.

Passo 6

Substituir o valor conhecido de \det(A).
Como o enunciado deu \det A = 4, substituímos na expressão:
\det(3A)=3^{n}\det(A)=3^{n}\cdot 4.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a ideia (caso n=2).
Se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então
\det(A)=ad-bc.
Então
3A=\begin{pmatrix}3a & 3b\\\\ 3c & 3d\end{pmatrix}
e
\det(3A)=(3a)(3d)-(3b)(3c)=9(ad-bc)=3^{2}\det(A),
o que ilustra a fórmula com n=2.

Resposta

\det(3A)=4\cdot 3^{n}

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