Observação: a informação \det B=5 não é necessária para calcular \det(3A); ela está aí mas não será usada.
Passo 2
Entender o que significa multiplicar a matriz A por um escalar 3.
Quando escrevemos 3A, estamos multiplicando cada entrada de A por 3. Isso equivale a multiplicar cada linha (ou cada coluna) de A por 3. Por exemplo, se A tem linhas r_1,r_2,\dots,r_n, então 3A tem linhas 3r_1,3r_2,\dots,3r_n.
Passo 3
Fato essencial sobre determinante (propriedade de escala numa linha):
Se uma única linha de uma matriz quadrada é multiplicada por um escalar c, então o determinante da matriz resultante é multiplicado por c. Em notação: se A' é obtida de A multiplicando-se a linha i por c, então
\det(A') = c\det(A).
Explicação curta do porquê (intuitiva): o determinante é multilinear nas linhas — linear em cada linha separadamente — então multiplicar uma linha por c puxa um fator c para fora do determinante.
Passo 4
Aplicar a propriedade a todas as linhas:
Como 3A é obtida multiplicando cada uma das n linhas de A por 3, aplicando a propriedade linha a linha obtemos um fator 3 para cada linha. Logo surge o fator 3 elevado a n:
\det(3A) = 3^{n}\det(A).
Esse é o resultado padrão: multiplicar uma matriz n\times n por um escalar c multiplica seu determinante por c^{n}.
Passo 5
Demonstração alternativa (útil para lembrar): usar a matriz escalar 3I.
Considere a matriz 3I, onde I é a matriz identidade n\times n. Tem-se \det(3I)=3^{n} porque 3I é diagonal com todos os n valores diagonais iguais a 3, e o determinante de uma matriz diagonal é o produto das entradas diagonais.
Como (3I)A = 3A e o determinante é multiplicativo, isto é \det(XY)=\det(X)\det(Y), obtemos