h) \frac{2}{x^{2}}-\frac{3-x}{x}=\frac{1-x}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{2}{x^{2}}-\frac{3-x}{x}=\frac{1-x}{x}
e pede que a gente encontre os valores de x que a satisfazem. Informações relevantes que já podemos anotar:

\bullet A incógnita é x.

\bullet Há denominadores com x e x^{2}, então devemos exigir que x\neq 0 (porque não podemos dividir por zero).

\bullet Nosso objetivo é resolver a equação em \mathbb{R} respeitando a restrição x\neq 0.

Passo 2

Estratégia prática para eliminar frações: multiplicar ambos os lados da equação pelo MMC dos denominadores, que aqui é x^{2}. Isso vai limpar as frações e gerar uma equação polinomial mais fácil de manipular. Essa multiplicação é válida desde que x\neq 0, condição já anotada.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^{2} obtemos (cada termo multiplicado pelo fator):
\frac{2}{x^{2}}\cdot x^{2}-\frac{3-x}{x}\cdot x^{2}=\frac{1-x}{x}\cdot x^{2}
que simplifica para
2 - x(3-x) = x(1-x).

Passo 4

Agora vamos desenvolver os produtos e organizar os termos. Primeiro expande-se cada produto:
x(3-x)=3x-x^{2},
x(1-x)=x-x^{2}.
Substituindo na equação do passo anterior:
2 - (3x - x^{2}) = x - x^{2}.
Retirando os parênteses com cuidado do sinal:
2 - 3x + x^{2} = x - x^{2}.

Passo 5

Passar todos os termos para o mesmo lado para obter uma equação quadrática padrão. Subtraindo x - x^{2} dos dois lados:
2 - 3x + x^{2} - x + x^{2} = 0.
Agrupando termos semelhantes:
2x^{2} - 4x + 2 = 0.
Fatorando 2 (para simplificar):
2\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=0.
Dividindo por 2 (que não muda as raízes):
x^{2}-2x+1=0.

Passo 6

Resolver a quadrática x^{2}-2x+1=0. Observação: isso é um quadrado perfeito, pois
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Outra forma de ver é calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot1=0, o que indica uma única raiz dupla. Assim
(x-1)^{2}=0\implies x=1.

Passo 7

Verificação e consideração da restrição de domínio: a solução encontrada é x=1. Verificamos que ela respeita a restrição x\neq 0. Substituindo na equação original para checar:
\frac{2}{1^{2}}-\frac{3-1}{1}=2-2=0,
\frac{1-1}{1}=0,
portanto a igualdade é verdadeira e x=1 é solução válida.

Resposta

x=1

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