1. Centroide de um cone sólido Mostre que o centroide de um cone circular reto sólido está a um quarto da distância entre a base e o vértice. (Em geral, o centroide de um cone sólido ou pirâmide está a um quarto da distância entre o centroide da base e o vértice.)
  2. Densidade do centro de um planeta Um planeta tem o formato de uma esfera de raio R e massa total M, com distribuição de densidade esfericamente simétrica que aumenta linearmente à medida que nos aproximamos de seu centro. Qual é a densidade no centro desse planeta se a densidade em sua margem (superfície) for zero?
  3. Massa da atmosfera de um planeta Um planeta esférico de raio R tem uma atmosfera cuja densidade mu=mu0 e^-c h, onde h é a altitude acima da superfície do planeta, mu0 é a densidade no nível do mar e c é uma constante positiva. Encontre a massa da atmosfera do planeta.

Passo 1

Nesse exercício temos três probleminhas de cálculo: o 78 pede o centroide de um cone circular reto sólido; o 79 pede a densidade central de uma esfera cujo perfil de densidade aumenta linearmente do zero na superfície até o centro; e o 80 pede a massa da atmosfera de um planeta cuja densidade decai exponencialmente com a altitude. Vamos usar integração de volume para o problema 78, integração esférica para o 79 e soma de camadas esféricas para o 80.

Passo 2

Para o problema 78, considere um cone de altura h e raio da base R. O centroide ao longo do eixo de simetria (eixo z) vale zg=1Vintegral0^h z,dV A área da seção transversal a uma altura z é pil(R,(1-tfrac z h)r)^2, então dV=pil(R,(1-tfrac z h)r)^2dz O volume total é V=tfrac13pi R^2h. Substituindo,
zg=1tfrac13pi R^2hintegral0^h zpil(R(1-tfrac z h)r)^2dz =3R^2h,R^2integral0^h zl(1-tfrac z hr)^2dz =3integral0^1u(1-u)^2ducdot h =3cdot112,h =h4

Passo 3

Para o problema 79, assuma densidade esférica rho(r)=k,(R-r) de tal forma que rho(R)=0. A massa total vale M=integral0^R4pi r^2rho(r),dr =4pi kintegral0^Rr^2(R-r)dr Calculando essa integral:
$$\int_0Rr2(R-r)dr=R\int_0Rr2dr-\int_0Rr3dr=R\frac{R3}{3}-\frac{R4}{4}=\frac{R^4}{12}.
integral0^Rr^2(R-r)dr=Rintegral0^Rr^2dr-integral0^Rr^3dr=RR^33-R^44=R^412 áé\rho(0)=kR=\frac{3M}{\pi R^3}.$$

Passo 4

Para o problema 80, modele a atmosfera em camadas esféricas de espessura dh e raio R+h. A densidade é mu(h)=mu0e^-ch, então a massa de uma camada é dM=mu(h),4pi(R+h)^2dh=4pimu0(R+h)^2e^-chdh Integramos de h=0 até infty:
$$M_{atm}=4\pi\mu_0\int_0{\infty}(R+h)2e^{-ch}dh.
$$ Expandindo Matm=4pimu0integral0^infty(R+h)^2e^-chdh e usando as integrais (R+h)^2=R^2+2Rh+h^2, integral0^infty e^-chdh=1/c e integral0^infty h e^-chdh=1/c^2, concluímos que
integral0^infty h^2e^-chdh=2/c^3

Resposta

  1. O centroide fica a distância h/4 da base. 79. A densidade no centro é rho(0)=tfrac3Mpi R^3 80. A massa da atmosfera é Matm=4pimu0l(R^2/c+2R/c^2+2/c^3r).

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