- Centroide de um cone sólido Mostre que o centroide de um cone circular reto sólido está a um quarto da distância entre a base e o vértice. (Em geral, o centroide de um cone sólido ou pirâmide está a um quarto da distância entre o centroide da base e o vértice.)
- Densidade do centro de um planeta Um planeta tem o formato de uma esfera de raio
e massa total
, com distribuição de densidade esfericamente simétrica que aumenta linearmente à medida que nos aproximamos de seu centro. Qual é a densidade no centro desse planeta se a densidade em sua margem (superfície) for zero?
- Massa da atmosfera de um planeta Um planeta esférico de raio
tem uma atmosfera cuja densidade
, onde
é a altitude acima da superfície do planeta,
é a densidade no nível do mar e
é uma constante positiva. Encontre a massa da atmosfera do planeta.
Passo 1
Nesse exercício temos três probleminhas de cálculo: o 78 pede o centroide de um cone circular reto sólido; o 79 pede a densidade central de uma esfera cujo perfil de densidade aumenta linearmente do zero na superfície até o centro; e o 80 pede a massa da atmosfera de um planeta cuja densidade decai exponencialmente com a altitude. Vamos usar integração de volume para o problema 78, integração esférica para o 79 e soma de camadas esféricas para o 80.
Passo 2
Para o problema 78, considere um cone de altura
e raio da base
. O centroide ao longo do eixo de simetria (eixo
) vale
A área da seção transversal a uma altura
é
, então
O volume total é
. Substituindo,
Passo 3
Para o problema 79, assuma densidade esférica
de tal forma que
. A massa total vale
Calculando essa integral:
$$\int_0Rr2(R-r)dr=R\int_0Rr2dr-\int_0Rr3dr=R\frac{R3}{3}-\frac{R4}{4}=\frac{R^4}{12}.
Passo 4
Para o problema 80, modele a atmosfera em camadas esféricas de espessura
e raio
. A densidade é
, então a massa de uma camada é
Integramos de
até
:
$$M_{atm}=4\pi\mu_0\int_0{\infty}(R+h)2e^{-ch}dh.
$$ Expandindo
e usando as integrais
,
e
, concluímos que
Resposta
- O centroide fica a distância
da base. 79. A densidade no centro é 80. A massa da atmosfera é .