1. Se \left[v_{1}, v_{2}\right]=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}\right] então \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é L.D.

Passo 1

O enunciado afirma que
\,[v_{1},v_{2}]=[v_{1},v_{2},v_{3}]\,,
onde [\dots] denota o subespaço gerado (span). Queremos mostrar que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente.

Passo 2

Se
\text{span}\{v_{1},v_{2}\}=\text{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\},
então v_{3} já está em \text{span}\{v_{1},v_{2}\}. Logo existem escalares \alpha,\beta tais que
v_{3}=\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}.

Passo 3

Reescrevendo a igualdade acima, obtemos
\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}-1\cdot v_{3}=0.
Nesta combinação linear, o coeficiente de v_{3} é -1\neq0, portanto é uma relação linear não trivial que anula v_{1},v_{2},v_{3}.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados