A Lei dos Gases Ideais, P V=R T, relaciona a pressão ( P, em pascals), temperatura ( T, em Kelvin), e volume ( V, em metros cúbicos) de 1 mol de um gás ( R=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K} é a constante universal dos gases), e descreve o comportamento de gases que não se liquefazem facilmente, como oxigênio e hidrogênio. Na lei dos gases ideais, podemos expressar o volume como uma função da pressão e temperatura:
V(P, T)=8,314 \cdot \frac{T}{P}
Esboce o gráfico de V(P, 5) e explique a relação entre as duas variáveis.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Esboçar o gráfico de V(P,5).
  • Explicar a relação entre as duas variáveis P e V.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Lei dos gases ideais para 1 mol: P V = R T.
  • Constante R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
  • Função geral dada: V(P,T)=8,314\cdot\frac{T}{P}.
  • Temperatura fixa no pedido: T=5 (unidade: Kelvin).
  • Unidades: P em pascals ( \mathrm{Pa}), V em metros cúbicos ( \mathrm{m^3}).

Passo 2

Aplicar T=5 na expressão para obter a função específica a desenhar.
V(P,5)=8,314\cdot\frac{5}{P}
Calcule o produto numérico que aparece como constante multiplicativa:
8,314\cdot5 = 41,57
Portanto a função que vamos esboçar é
V(P,5)=\frac{41,57}{P}.
Observação importante sobre domínio: como P aparece no denominador, só faz sentido físico e matemático para P>0. Logo o domínio é P>0.

Passo 3

Interpretação algébrica simples: a expressão mostra que V é proporcional a 1/P. Em palavras: ao fixar a temperatura, o volume varia inversamente com a pressão (se a pressão aumenta, o volume diminui; se a pressão diminui, o volume aumenta).
Mostre a propriedade de inversa proporcionalidade com um cálculo rápido: se P_2 = c\cdot P_1 com c>0, então
V(P_2,5)=\frac{41,57}{P_2}=\frac{41,57}{cP_1}=\frac{1}{c}\cdot\frac{41,57}{P_1}=\frac{1}{c}V(P_1,5).
Exemplo numérico para orientar o esboço (todos em \mathrm{m^3} para V):
  • Para P=1\\ \mathrm{Pa}: V=\dfrac{41,57}{1} = 41,57.
  • Para P=10\\ \mathrm{Pa}: V=\dfrac{41,57}{10}=4,157.
  • Para P=100\\ \mathrm{Pa}: V=\dfrac{41,57}{100}=0,4157.
  • Para P=101325\\ \mathrm{Pa} (aprox. 1 atm): V=\dfrac{41,57}{101325}\approx0,000410 (ou cerca de 0,410 litros).
Esses pontos ajudam a posicionar a curva no esboço.

Passo 4

Descrição do esboço (como desenhar na prova):
  • Eixos: eixo horizontal P (pressionar para a direita aumenta P), eixo vertical V.
  • Traço da curva: uma hipérbole do tipo k/P com k=41,57.
  • Assíntotas: assíntota vertical em P=0 (quando P\to0^+, V\to+\infty) e assíntota horizontal em V=0 (quando P\to+\infty, V\to0^+).
  • Comportamento: a curva decresce rapidamente para pressões pequenas e se aproxima de zero para pressões grandes.
  • Para esboçar: marque alguns pontos calculados no passo anterior e desenhe uma curva suave passando por eles, com as assíntotas indicadas.

Passo 5

Justificativa calculeística (para explicar monotonicidade e curvatura na prova):
Calcule a derivada de V em relação a P:
V(P,5)=41,57\,P^{-1}
\frac{dV}{dP} = 41,57\cdot(-1)P^{-2} = -\frac{41,57}{P^{2}}.
Como \dfrac{41,57}{P^{2}}>0 para P>0, temos \dfrac{dV}{dP}<0. Conclusão: a função é estritamente decrescente em todo o domínio P>0.
Segunda derivada para checar curvatura:
\frac{d^{2}V}{dP^{2}} = -41,57\cdot(-2)P^{-3} = \frac{83,14}{P^{3}}.
Como \dfrac{83,14}{P^{3}}>0 para P>0, a função é côncava para cima (convexa) no domínio. Ou seja, a curva “abre para cima” enquanto decresce.

Passo 6

Interpretação física e dica prática:
  • Física: com a temperatura fixa em 5\\ \mathrm{K}, aumentar a pressão comprime o gás e reduz o volume — é a forma matemática do comportamento esperado (Lei de Boyle para temperatura constante).
  • Dica para prova: desenhe as assíntotas, calcule 3–4 pontos (preferivelmente em escalas logarítmicas se os valores variarem muito) e ligue com uma curva suave que não cruza os eixos.
  • Observação gentil: T=5\\ \mathrm{K} é um valor muito baixo (praticamente criogênico), mas isso só muda os números (constante 41,57), não a forma geral do gráfico.

Resposta

V(P,5)=\dfrac{41,57}{P} (com P>0).
Relação: V é inversamente proporcional a P; a curva é uma hipérbole decrescente com assíntotas em P=0 (vertical) e V=0 (horizontal); ao dobrar P o volume reduz à metade.

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