A Lei dos Gases Ideais,
, relaciona a pressão (
, em pascals), temperatura (
, em Kelvin), e volume (
, em metros cúbicos) de 1 mol de um gás (
é a constante universal dos gases), e descreve o comportamento de gases que não se liquefazem facilmente, como oxigênio e hidrogênio. Na lei dos gases ideais, podemos expressar o volume como uma função da pressão e temperatura:
Esboce o gráfico de
e explique a relação entre as duas variáveis.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Esboçar o gráfico de
. - Explicar a relação entre as duas variáveis
e .
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
- Lei dos gases ideais para 1 mol:
. - Constante
. - Função geral dada:
. - Temperatura fixa no pedido:
(unidade: Kelvin). - Unidades:
em pascals ( ), em metros cúbicos ( ).
Passo 2
Aplicar
na expressão para obter a função específica a desenhar.
Calcule o produto numérico que aparece como constante multiplicativa:
Portanto a função que vamos esboçar é
Observação importante sobre domínio: como
aparece no denominador, só faz sentido físico e matemático para
. Logo o domínio é
.
Passo 3
Interpretação algébrica simples: a expressão mostra que
é proporcional a
. Em palavras: ao fixar a temperatura, o volume varia inversamente com a pressão (se a pressão aumenta, o volume diminui; se a pressão diminui, o volume aumenta).
Mostre a propriedade de inversa proporcionalidade com um cálculo rápido: se
com
, então
Exemplo numérico para orientar o esboço (todos em
para
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
(aprox. 1 atm): (ou cerca de litros).
Esses pontos ajudam a posicionar a curva no esboço.
Passo 4
Descrição do esboço (como desenhar na prova):
- Eixos: eixo horizontal
(pressionar para a direita aumenta ), eixo vertical . - Traço da curva: uma hipérbole do tipo
com . - Assíntotas: assíntota vertical em
(quando , ) e assíntota horizontal em (quando , ). - Comportamento: a curva decresce rapidamente para pressões pequenas e se aproxima de zero para pressões grandes.
- Para esboçar: marque alguns pontos calculados no passo anterior e desenhe uma curva suave passando por eles, com as assíntotas indicadas.
Passo 5
Justificativa calculeística (para explicar monotonicidade e curvatura na prova):
Calcule a derivada de
em relação a
:
Como
para
, temos
. Conclusão: a função é estritamente decrescente em todo o domínio
.
Segunda derivada para checar curvatura:
Como
para
, a função é côncava para cima (convexa) no domínio. Ou seja, a curva “abre para cima” enquanto decresce.
Passo 6
Interpretação física e dica prática:
- Física: com a temperatura fixa em
, aumentar a pressão comprime o gás e reduz o volume — é a forma matemática do comportamento esperado (Lei de Boyle para temperatura constante). - Dica para prova: desenhe as assíntotas, calcule 3–4 pontos (preferivelmente em escalas logarítmicas se os valores variarem muito) e ligue com uma curva suave que não cruza os eixos.
- Observação gentil:
é um valor muito baixo (praticamente criogênico), mas isso só muda os números (constante ), não a forma geral do gráfico.
Resposta
Relação: