A Lei dos Gases Ideais, P V=R T, relaciona a pressão ( P, em pascals), temperatura ( T, em Kelvin), e volume ( V, em metros cúbicos) de 1 mol de um gás ( R=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K} é a constante universal dos gases), e descreve o comportamento de gases que não se liquefazem facilmente, como oxigênio e hidrogênio. Na lei dos gases ideais, podemos expressar o volume como uma função da pressão e temperatura:
V(P, T)=8,314 \cdot \frac{T}{P}
Esboce o gráfico de V(1000, T) e explique a relação entre as duas variáveis.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a lei dos gases ideais para 1 mol: V(P,T)=8,314\cdot\frac{T}{P}.
  • Pede o esboço (gráfico) de V(1000,T) e uma explicação da relação entre as duas variáveis (volume e temperatura).
  • Informação numérica que vamos usar: \;P=1000\; (unidades implícitas de pascal) e R=8,314\;\mathrm{J/(mol\;K)}.

Passo 2

Substituir P=1000 na expressão dada e simplificar:
V(1000,T)=8,314\cdot\frac{T}{1000}.
Dividindo 8,314 por 1000 obtemos a constante multiplicativa (a inclinação da reta):
V(1000,T)=0,008314\;T.

Passo 3

Interpretação algébrica e unidades:
  • A forma V(1000,T)=0,008314\;T é uma função linear do tipo V=mT+b, com m=0,008314\quad\text{e}\quad b=0.
  • Aqui m tem unidades de \mathrm{m^3/K} (porque V está em \mathrm{m^3} e T em K). O termo b=0 significa que, matematicamente, a reta passa pela origem (T=0,V=0).

Passo 4

Qual é a relação entre V e T (intuitiva e prática):
  • Diretamente proporcionais: quando a temperatura T dobra, o volume V também dobra (mantendo a pressão fixa em 1000).
  • A dependência é linear: o gráfico é uma reta passando pela origem com inclinação 0,008314\;\mathrm{m^3/K}.
  • Domínio físico: T\geq0 (Kelvin). Observação física: T=0 K é inatingível na prática, portanto os valores físicamente relevantes são T>0.
  • Comentário físico: a subida de T aumenta a energia cinética média das moléculas; a pressão fixa exige que o volume aumente para manter P constante, daí a proporcionalidade direta.

Passo 5

Alguns pontos práticos para esboçar a reta (cálculos passo a passo para marcar pontos):
  • Para T=0: V(1000,0)=0,008314\cdot 0=0.
  • Para T=100 K: V(1000,100)=0,008314\cdot 100=0,8314\\ \mathrm{m^3}.
  • Para T=273 K (temperatura de 0 °C): V(1000,273)=0,008314\cdot 273\approx2,2697\\ \mathrm{m^3}.
  • Para T=373 K (aprox. 100 °C): V(1000,373)=0,008314\cdot 373\approx3,1011\\ \mathrm{m^3}.
Use esses pontos para marcar a reta no esboço: todos estão alinhados porque a função é linear.

Passo 6

Como desenhar o gráfico (instruções passo a passo para a prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal T (em K) e eixo vertical V (em \mathrm{m^3} por mol).
  2. Marque a origem (0,0).
  3. Escolha uma escala conveniente: por exemplo, cada divisão horizontal = 50 K e cada divisão vertical = 0,5\\ \mathrm{m^3}.
  4. Plote os pontos calculados em T=100,273,373 para ter referência concreta.
  5. Una os pontos com uma linha reta que passe pela origem: essa é a gráfica de V(1000,T)=0,008314\;T.
  6. Rotule a reta e os eixos (ex.: “ V (m^3/mol)” e “ T (K)”) e anote a inclinação m=0,008314\\ \mathrm{m^3/K}.

Passo 7

Resumo didático e físico (uma frase amiga para te motivar):
  • Matemática curta: V(1000,T)=0,008314\;T.
  • Física curta: com pressão fixa, volume e temperatura são diretamente proporcionais; aumentar T aumenta V linearmente. Dá pra riscar essa reta na prova rapidinho — marca dois pontos e liga com régua. Você consegue!

Resposta

V(1000,T)=0,008314\;T\quad(\mathrm{m^3})
Gráfico: reta que passa pela origem com inclinação 0,008314\\ \mathrm{m^3/K}; relação: V é diretamente proporcional a T (para P fixo em 1000 Pa).

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