\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} nos casos abaixo.
\vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k} e C é a fronteira do triângulo de vértices ( 1,0,0 ), ( 0,1,0 ), ( 0,0,1 ), percorrido nessa ordem.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
A campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{i}+z\,\vec{j}+x\,\vec{k}.
A curva C é a fronteira do triângulo cujos vértices, na ordem dada, são (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). A orientação da curva é exatamente nesse sentido (primeiro para segundo, depois para terceiro e volta ao primeiro).
O que se pede é o valor do integral de linha \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações geométricas úteis que já aparecem no enunciado:
O triângulo está contido no plano \,x+y+z=1 (os três pontos satisfazem essa equação).
O triângulo fica no primeiro octante (coordenadas não negativas).
onde S é qualquer superfície orientada cuja fronteira é C, \vec{n} é o vetor normal compatível com a orientação de C (regra da mão direita) e \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}.
Explicando: o rotacional mede “rotação local” do campo e o Teorema de Stokes transforma um integral de linha em torno da borda numa integral de superfície do rotacional atravessando essa superfície. A escolha da superfície pode ser a mais simples que tenha C como fronteira — aqui o próprio triângulo no plano \,x+y+z=1 é a escolha natural.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3)=(y,z,x) a fórmula é
Escolher e parametrizar a superfície S: o próprio triângulo no plano \,x+y+z=1. Uma parametrização simples é usar coordenadas barycêntricas/afins com parâmetros u,v:
\vec{r}(u,v)=\bigl(1-u-v,\;u,\;v\bigr),
com domínio
D=\{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\}.
Verificação rápida dos vértices: \vec{r}(0,0)=(1,0,0), \vec{r}(1,0)=(0,1,0), \vec{r}(0,1)=(0,0,1), ou seja, a parametrização cobre exatamente o triângulo com a mesma ordem de vértices quando percorremos a fronteira de D no sentido padrão (contra-horário no plano uv).
Passo 5
Calcular os vetores tangentes e o elemento de área orientado:
Observação de orientação: \vec{r}_u\times\vec{r}_v=(1,1,1). Pelo modo como parametrizamos D (fronteira de D percorrida no sentido padrão) a orientação induzida na curva C corresponde exatamente à ordem (1,0,0)\to(0,1,0)\to(0,0,1) fornecida no enunciado. Assim usamos \vec{r}_u\times\vec{r}_v sem mudar o sinal.]