Use o Teorema de Stokes para calcular
\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} nos casos abaixo.
\vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k} e C é a fronteira do triângulo de vértices ( 1,0,0 ), ( 0,1,0 ), ( 0,0,1 ), percorrido nessa ordem.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • A campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{i}+z\,\vec{j}+x\,\vec{k}.
  • A curva C é a fronteira do triângulo cujos vértices, na ordem dada, são (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). A orientação da curva é exatamente nesse sentido (primeiro para segundo, depois para terceiro e volta ao primeiro).
  • O que se pede é o valor do integral de linha \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações geométricas úteis que já aparecem no enunciado:
  • O triângulo está contido no plano \,x+y+z=1 (os três pontos satisfazem essa equação).
  • O triângulo fica no primeiro octante (coordenadas não negativas).

Passo 2

Enunciando o Teorema de Stokes (o que vou usar):
\oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} \;=\; \iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS,
onde S é qualquer superfície orientada cuja fronteira é C, \vec{n} é o vetor normal compatível com a orientação de C (regra da mão direita) e \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}.
Explicando: o rotacional mede “rotação local” do campo e o Teorema de Stokes transforma um integral de linha em torno da borda numa integral de superfície do rotacional atravessando essa superfície. A escolha da superfície pode ser a mais simples que tenha C como fronteira — aqui o próprio triângulo no plano \,x+y+z=1 é a escolha natural.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3)=(y,z,x) a fórmula é
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Calculando cada derivada:
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial z}=1,
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1,
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial y}=1.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(-1,\,-1,\,-1).

Passo 4

Escolher e parametrizar a superfície S: o próprio triângulo no plano \,x+y+z=1. Uma parametrização simples é usar coordenadas barycêntricas/afins com parâmetros u,v:
\vec{r}(u,v)=\bigl(1-u-v,\;u,\;v\bigr),
com domínio
D=\{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\}.
Verificação rápida dos vértices: \vec{r}(0,0)=(1,0,0), \vec{r}(1,0)=(0,1,0), \vec{r}(0,1)=(0,0,1), ou seja, a parametrização cobre exatamente o triângulo com a mesma ordem de vértices quando percorremos a fronteira de D no sentido padrão (contra-horário no plano uv).

Passo 5

Calcular os vetores tangentes e o elemento de área orientado:
\vec{r}_u=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u}=(-1,\,1,\,0),\qquad \vec{r}_v=\frac{\partial\vec{r}}{\partial v}=(-1,\,0,\,1).
O vetor normal orientado (não unitário) é o produto vetorial
\vec{r}_u\times\vec{r}_v = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[2pt] -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,\,1,\,1).
Observação de orientação: \vec{r}_u\times\vec{r}_v=(1,1,1). Pelo modo como parametrizamos D (fronteira de D percorrida no sentido padrão) a orientação induzida na curva C corresponde exatamente à ordem (1,0,0)\to(0,1,0)\to(0,0,1) fornecida no enunciado. Assim usamos \vec{r}_u\times\vec{r}_v sem mudar o sinal.]

Passo 6

Montar a integral de superfície usando Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS = \iint_{D} (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)\,du\,dv.
Substituindo os valores encontrados:
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v) = (-1,-1,-1)\cdot(1,1,1) = -3.
Logo a integral fica
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{D} (-3)\,du\,dv.

Passo 7

Calcular a integral dupla sobre D. Como D=\{0\le u\le1,\;0\le v\le1-u\},
\iint_{D} (-3)\,du\,dv = \int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1-u} (-3)\,dv\,du = -3\int_{0}^{1} (1-u)\,du.
Compute a integral interna:
\int_{0}^{1} (1-u)\,du = \left[u-\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -3\cdot\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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