- A Lei de Gauss é uma das quatro equaçōes de Maxwell e estabelece a relação entre o fluxo do campo elétrico através de uma superficie fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume limitado por essa superficie. Considere uma carga positiva
sobre uma esfera condutora maciça de raio
.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o campo elétrico em qualquer ponto fora da esfera. Dados:
e
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
E.
.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o campo elétrico em qualquer ponto fora da esfera. Dados:
Passo 1
O enunciado pede para identificar corretamente o campo elétrico em qualquer ponto fora de uma esfera condutora maciça que tem carga positiva
colocada sobre ela. Dados fornecidos:
As alternativas são valores numéricos de
. Neste exercício precisamos usar as informações acima para obter a expressão do campo fora da esfera e, como as alternativas são números, avaliar o campo em função do raio (provavelmente na superfície,
) para comparar com as alternativas.
Passo 2
Conceito essencial — condutor em equilíbrio eletrostático e Lei de Gauss:
A propriedade importante de uma esfera condutora carregada em equilíbrio é que toda a carga elétrica se distribui na superfície e o campo elétrico no interior do condutor é nulo. Para pontos fora da esfera (ou seja, para ), por simetria esférica podemos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
A propriedade importante de uma esfera condutora carregada em equilíbrio é que toda a carga elétrica se distribui na superfície e o campo elétrico no interior do condutor é nulo. Para pontos fora da esfera (ou seja, para
onde
é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada
,
é a carga total dentro dessa superfície e
é a permissividade do vácuo.
Explicando as variáveis:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície gaussiana; -
é o vetor área infinitesimal (magnitude igual à área do elemento, direção normal à superfície); -
é constante, .
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss usando uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada na esfera condutora (com
):
Por simetria, tem mesma magnitude em todos os pontos da superfície esférica e é radial, então
. O fluxo é
Por simetria,
Pela Lei de Gauss,
Isolando
,
Aqui
é a constante eletrostática
, com valor aproximado
. Essa fórmula diz que, para qualquer ponto fora da esfera, o campo é igual ao campo que seria produzido por uma carga puntiforme
concentrada no centro da esfera.
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente o campo para comparar com as alternativas. Como as alternativas são números fixos (não expressões em
), avaliamos o campo na superfície, isto é em
. Substituindo
na expressão:
Usando
,
e
:
Passo 5
Arredondando o resultado com aproximação comum de
e considerando algarismos significativos usados nas alternativas: muitas vezes se usa
. Se fizermos essa aproximação:
Portanto, o valor numérico do campo na superfície da esfera é da ordem de
, e com a aproximação comum de
obtém-se
, que é o valor apresentado entre as alternativas.
Resposta
A