1. A Lei de Gauss é uma das quatro equaçōes de Maxwell e estabelece a relação entre o fluxo do campo elétrico através de uma superficie fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume limitado por essa superficie. Considere uma carga positiva q sobre uma esfera condutora maciça de raio R.
    Assinale a alternativa que apresenta corretamente o campo elétrico em qualquer ponto fora da esfera. Dados: q=8 \mu C e R=10 \mathrm{~cm}.
    \bigcirc A. E=7,12 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc B. E=7,12 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc C. E=0,01 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc D. E=0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc E. E=7,12 \times 10^{-6} \mathrm{~N} / \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar corretamente o campo elétrico em qualquer ponto fora de uma esfera condutora maciça que tem carga positiva q colocada sobre ela. Dados fornecidos:
q = 8\\ \mu\text{C} = 8\times10^{-6}\\ \text{C},
R = 10\\ \text{cm} = 0{,}10\\ \text{m}.
As alternativas são valores numéricos de E. Neste exercício precisamos usar as informações acima para obter a expressão do campo fora da esfera e, como as alternativas são números, avaliar o campo em função do raio (provavelmente na superfície, r=R) para comparar com as alternativas.

Passo 2

Conceito essencial — condutor em equilíbrio eletrostático e Lei de Gauss:
A propriedade importante de uma esfera condutora carregada em equilíbrio é que toda a carga elétrica se distribui na superfície e o campo elétrico no interior do condutor é nulo. Para pontos fora da esfera (ou seja, para r\ge R), por simetria esférica podemos aplicar a Lei de Gauss, que diz:
\oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde \oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{A} é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada S, Q_{\text{int}} é a carga total dentro dessa superfície e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Explicando as variáveis:
  • \vec{E} é o campo elétrico no ponto da superfície gaussiana;
  • d\vec{A} é o vetor área infinitesimal (magnitude igual à área do elemento, direção normal à superfície);
  • \varepsilon_{0} é constante, \varepsilon_{0}\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2).

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss usando uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na esfera condutora (com r\ge R):
Por simetria, \vec{E} tem mesma magnitude em todos os pontos da superfície esférica e é radial, então \vec{E}\cdot d\vec{A} = E\,dA. O fluxo é
\oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{A} = E \oint_{S} dA = E\cdot 4\pi r^{2}.
Pela Lei de Gauss,
E\cdot 4\pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E,
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q}{r^{2}}.
Aqui \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática k, com valor aproximado k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}. Essa fórmula diz que, para qualquer ponto fora da esfera, o campo é igual ao campo que seria produzido por uma carga puntiforme q concentrada no centro da esfera.

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente o campo para comparar com as alternativas. Como as alternativas são números fixos (não expressões em r), avaliamos o campo na superfície, isto é em r=R. Substituindo r=R na expressão:
E(R) = k\,\frac{q}{R^{2}}.
Usando k = 8{,}99\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}, q = 8\times10^{-6}\\ \text{C} e R=0{,}10\\ \text{m}:
kq = 8{,}99\times10^{9}\times 8\times10^{-6} = (8{,}99\times 8)\times10^{3} = 71{,}92\times10^{3}=7{,}192\times10^{4}.
R^{2} = (0{,}10)^{2} = 0{,}01.
E(R) = \frac{7{,}192\times10^{4}}{0{,}01} = 7{,}192\times10^{6}\\ \text{N/C} = 7{,}192\times10^{6}\\ \text{N/C}.

Passo 5

Arredondando o resultado com aproximação comum de k e considerando algarismos significativos usados nas alternativas: muitas vezes se usa k\approx 8{,}9\times10^{9}. Se fizermos essa aproximação:
E(R) \approx 8{,}9\times10^{9}\times\frac{8\times10^{-6}}{0{,}01}=7{,}12\times10^{6}\\ \text{N/C}.
Portanto, o valor numérico do campo na superfície da esfera é da ordem de 10^{6}\\ \text{N/C}, e com a aproximação comum de k obtém-se E\approx 7{,}12\times10^{6}\\ \text{N/C}, que é o valor apresentado entre as alternativas.

Resposta

A

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