A Lei de Resfriamento de Newton é dada pela equação diferencial:
onde
é a temperatura do corpo no instante
e
é a temperatura do meio.
Considere o seguinte problema:
Um isolador cerâmico está a uma temperatura inicial de
quando é colocado para resfriar em uma sala com temperatura ambiente de
. Após 4 minutos, a temperatura do isolador é
. Determine a temperatura do isolador após 8 minutos.
Um isolador cerâmico está a uma temperatura inicial de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do pânico (vai dar certo, respira).
-
Dados do enunciado:
- Temperatura inicial do isolador:
. - Temperatura do meio (sala):
. - Depois de
minutos a temperatura é . - A equação diferencial que governa o resfriamento é
com .
- Temperatura inicial do isolador:
-
O que o problema pede:
- Determinar a temperatura do isolador após
minutos, isto é, calcular .
- Determinar a temperatura do isolador após
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial passo a passo (separação de variáveis). Primeiro simplifico a notação definindo a diferença entre a temperatura do corpo e a do meio:
Então
, e a equação vira
Isto é uma equação diferencial muito simples: é da forma
. A técnica é separar variáveis e integrar. Escrevo:
Agora integro ambos os lados (integrais indefinidas):
As integrais são conhecidas:
e
. Assim:
onde
é constante de integração.
Passo 3
Exponencio para isolar
. Aplicando exponencial em ambos os lados dá
Posso absorver o sinal e a constante numa única constante real
, obtendo
Lembrando que
, volto para
:
Agora uso a condição inicial para encontrar
. Em
tem-se
, então:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 4
Usar a informação
para determinar
. Substituo
na solução:
Isolando a exponencial:
Dividindo:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
(Observação:
é negativo, por isso
como esperado.)
Passo 5
Calcular
. Usamos a fórmula geral com
:
É prático usar que
. Peguei
no passo anterior, então
Substituindo:
Faço a simplificação passo a passo: primeiro simplifying
. Então
Agora somo com
. Escrevo
para somar frações:
Portanto
Passo 6
Pequena interpretação e incentivo: em linguagem normal, o isolador que estava a
caiu para
em 4 minutos, e em 8 minutos continuará mais frio, chegando a pouco mais de
. O método que usamos (separação de variáveis e ajuste da constante com dados) é exatamente o que costuma aparecer em prova — decorar a solução geral
ajuda muito, mas saber derivá-la passo a passo garante que não dá ruim se isso vier em outra forma.