A Lei de Resfriamento de Newton é dada pela equação diferencial:
\frac{d T}{d t}=-k\left(T(t)-T_{m}\right)
onde k>0, T(t) é a temperatura do corpo no instante t e T_{m} é a temperatura do meio.
Considere o seguinte problema:
Um isolador cerâmico está a uma temperatura inicial de 400^{\circ} \mathrm{C} quando é colocado para resfriar em uma sala com temperatura ambiente de 25^{\circ} C. Após 4 minutos, a temperatura do isolador é 200^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura do isolador após 8 minutos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do pânico (vai dar certo, respira).
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura inicial do isolador: T(0)=400^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do meio (sala): T_m=25^\circ\mathrm{C}.
    • Depois de 4 minutos a temperatura é T(4)=200^\circ\mathrm{C}.
    • A equação diferencial que governa o resfriamento é \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_m\bigr),com k>0.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a temperatura do isolador após 8 minutos, isto é, calcular T(8).

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial passo a passo (separação de variáveis). Primeiro simplifico a notação definindo a diferença entre a temperatura do corpo e a do meio:
u(t)=T(t)-T_m.
Então \dfrac{du}{dt}=\dfrac{dT}{dt}, e a equação vira
\frac{du}{dt}=-k\,u(t).
Isto é uma equação diferencial muito simples: é da forma \dfrac{du}{dt} = -k u. A técnica é separar variáveis e integrar. Escrevo:
\frac{1}{u}\,du = -k\,dt.
Agora integro ambos os lados (integrais indefinidas):
\int \frac{1}{u}\,du = \int -k\,dt.
As integrais são conhecidas: \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u| e \int -k\,dt=-kt + C. Assim:
\ln|u| = -k t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Exponencio para isolar u. Aplicando exponencial em ambos os lados dá
|u| = e^{C} e^{-k t}.
Posso absorver o sinal e a constante numa única constante real C_1, obtendo
u(t)=C_1 e^{-k t}.
Lembrando que u(t)=T(t)-T_m, volto para T:
T(t)=T_m + C_1 e^{-k t}.
Agora uso a condição inicial para encontrar C_1. Em t=0 tem-se T(0)=400^\circ\mathrm{C}, então:
400 = T_m + C_1 e^{0} = 25 + C_1.
Logo
C_1 = 400-25 = 375.
Portanto a solução particular é
T(t)=25 + 375\,e^{-k t}.

Passo 4

Usar a informação T(4)=200^\circ\mathrm{C} para determinar k. Substituo t=4 na solução:
200 = 25 + 375\,e^{-4k}.
Isolando a exponencial:
200-25 = 375\,e^{-4k}\quad\Rightarrow\quad 175 = 375\,e^{-4k}.
Dividindo:
e^{-4k}=\frac{175}{375}=\frac{7}{15}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
-4k = \ln\!\left(\frac{7}{15}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{7}{15}\right) = \frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{15}{7}\right).
(Observação: \ln\!\left(\tfrac{7}{15}\right) é negativo, por isso k>0 como esperado.)

Passo 5

Calcular T(8). Usamos a fórmula geral com C_1=375:
T(8)=25 + 375\,e^{-8k}.
É prático usar que e^{-8k}=(e^{-4k})^2. Peguei e^{-4k}=\dfrac{7}{15} no passo anterior, então
e^{-8k}=\left(\frac{7}{15}\right)^2=\frac{49}{225}.
Substituindo:
T(8)=25 + 375\cdot\frac{49}{225}.
Faço a simplificação passo a passo: primeiro simplifying \dfrac{375}{225}=\dfrac{5}{3}. Então
375\cdot\frac{49}{225}=\frac{5}{3}\cdot 49=\frac{245}{3}.
Agora somo com 25. Escrevo 25=\dfrac{75}{3} para somar frações:
T(8)=\frac{75}{3}+\frac{245}{3}=\frac{320}{3}.
Portanto
T(8)=\frac{320}{3}^\circ\mathrm{C}\approx 106,666\ldots^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Pequena interpretação e incentivo: em linguagem normal, o isolador que estava a 400^\circ\mathrm{C} caiu para 200^\circ\mathrm{C} em 4 minutos, e em 8 minutos continuará mais frio, chegando a pouco mais de 106^\circ\mathrm{C}. O método que usamos (separação de variáveis e ajuste da constante com dados) é exatamente o que costuma aparecer em prova — decorar a solução geral T(t)=T_m+(T(0)-T_m)e^{-k t} ajuda muito, mas saber derivá-la passo a passo garante que não dá ruim se isso vier em outra forma.

Resposta

\dfrac{320}{3}^\circ\mathrm{C}\approx 106,666\ldots^\circ\mathrm{C}

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