Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a solução
que satisfaz:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
Informações relevantes fornecidas:
- A derivada de
em relação a é dada por uma expressão que é produto de uma função de e uma função de : isso sugere que a equação pode ser separável. - A condição inicial fornece o valor de
em , que será usado para determinar a constante de integração.
Passo 2
Identificar e aplicar o método de separação de variáveis.
Explicação didática do conceito: uma equação diferencial é separável quando pode ser escrita na forma
. Nesse caso é possível reorganizar para colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, e então integrar ambos os lados. Isso funciona porque podemos tratar
como uma razão e multiplicar ambos os lados por
(maneira informal e comum em provas), obtendo
, e integrar.
Aplicando ao nosso caso:
A equação é . Dividindo ambos os lados por
(atenção: isso exige
; também é preciso verificar soluções constantes separadas) e multiplicando por
, obtemos
A equação é
Observação sobre solução constante: se
então
é solução constante da equação original? Substituindo
em
dá
, então sim
é uma solução. Porém a condição inicial é
, que não é
, então essa solução não é a que buscamos.
Passo 3
Integrar ambos os lados.
Explicação das integrais:
- A primitiva de
em relação a é , pois a derivada de é e aqui tem derivada . - A primitiva de
em relação a é .
Integrando:
produz
onde
é a constante de integração. Aqui
é um número real arbitrário.
Passo 4
Isolar
a partir da expressão integrada.
Exponentiando ambos os lados (explicando o procedimento): como
, obtemos
Definindo
, temos
. Isso implica que
pode ser
; em geral escrevemos
com
sendo um número real não nulo (absorvendo o sinal em
).
Assim
Agora isolamos
:
onde
é constante real a determinar pela condição inicial.
Passo 5
Determinar a constante usando a condição inicial.
Usar
e
. Substituindo em
dá
logo
.
Substituindo de volta, obtemos a solução particular:
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): derivar a solução e checar a equação original.
Calcule
. Como
, pela regra da cadeia:
pois a derivada do expoente
é
.
Agora verifique o lado direito da equação original:
que coincide com
. Além disso a condição inicial é satisfeita. Portanto a solução está correta.