Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^{\prime}=(1+y)(1+x), \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a solução y(x) que satisfaz:
  • Equação diferencial: y'=(1+y)(1+x).
  • Condição inicial: y(0)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A derivada de y em relação a x é dada por uma expressão que é produto de uma função de y e uma função de x: isso sugere que a equação pode ser separável.
  • A condição inicial fornece o valor de y em x=0, que será usado para determinar a constante de integração.

Passo 2

Identificar e aplicar o método de separação de variáveis.
Explicação didática do conceito: uma equação diferencial é separável quando pode ser escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y). Nesse caso é possível reorganizar para colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, e então integrar ambos os lados. Isso funciona porque podemos tratar dy/dx como uma razão e multiplicar ambos os lados por dx (maneira informal e comum em provas), obtendo dy/h(y)=g(x)\,dx, e integrar.
Aplicando ao nosso caso:
A equação é \dfrac{dy}{dx}=(1+y)(1+x). Dividindo ambos os lados por 1+y (atenção: isso exige 1+y\neq0; também é preciso verificar soluções constantes separadas) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{dy}{1+y}=(1+x)\,dx.
Observação sobre solução constante: se 1+y=0 então y=-1 é solução constante da equação original? Substituindo y\equiv-1 em y'=(1+y)(1+x) 0=0, então sim y\equiv-1 é uma solução. Porém a condição inicial é y(0)=1, que não é -1, então essa solução não é a que buscamos.

Passo 3

Integrar ambos os lados.
Explicação das integrais:
  • A primitiva de \dfrac{1}{1+y} em relação a y é \ln|1+y|, pois a derivada de \ln|u| é u'/u e aqui u=1+y tem derivada 1.
  • A primitiva de 1+x em relação a x é x+\dfrac{x^2}{2}.
Integrando:
\int \frac{dy}{1+y}=\int (1+x)\,dx
produz
\ln|1+y|=x+\frac{x^2}{2}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui C é um número real arbitrário.

Passo 4

Isolar y a partir da expressão integrada.
Exponentiando ambos os lados (explicando o procedimento): como e^{\ln|1+y|}=|1+y|, obtemos
|1+y|=e^{x+\frac{x^2}{2}+C}=e^{C}\,e^{x+\frac{x^2}{2}}.
Definindo K=e^{C}>0, temos |1+y|=K\,e^{x+\frac{x^2}{2}}. Isso implica que 1+y pode ser \pm K\,e^{x+\frac{x^2}{2}}; em geral escrevemos 1+y=A\,e^{x+\frac{x^2}{2}} com A sendo um número real não nulo (absorvendo o sinal em A).
Assim
1+y=A\,e^{x+\frac{x^2}{2}}.
Agora isolamos y:
y = -1 + A\,e^{x+\frac{x^2}{2}},
onde A é constante real a determinar pela condição inicial.

Passo 5

Determinar a constante usando a condição inicial.
Usar x=0 e y(0)=1. Substituindo em \;1+y=A\,e^{x+\frac{x^2}{2}}\;
1+1 = A\,e^{0+\frac{0^2}{2}} \quad\Rightarrow\quad 2 = A\cdot 1,
logo A=2.
Substituindo de volta, obtemos a solução particular:
y(x) = -1 + 2\,e^{x+\frac{x^2}{2}}.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): derivar a solução e checar a equação original.
Calcule y'(x). Como y(x)=-1+2e^{x+\frac{x^2}{2}}, pela regra da cadeia:
y'(x)=2e^{x+\frac{x^2}{2}}\cdot\left(1+x\right),
pois a derivada do expoente x+\dfrac{x^2}{2} é 1+x.
Agora verifique o lado direito da equação original:
(1+y)(1+x) = \bigl(1+(-1+2e^{x+\frac{x^2}{2}})\bigr)(1+x) = 2e^{x+\frac{x^2}{2}}(1+x),
que coincide com y'(x). Além disso a condição inicial é satisfeita. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=-1+2\,e^{x+\frac{x^2}{2}}

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