Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI): y^{\prime}=\frac{1+y}{1+x}, \quad y(0)=1
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial:
y'=\frac{1+y}{1+x},\qquad y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
A equação diferencial é de primeira ordem e relaciona y' com x e y através de \dfrac{1+y}{1+x}.
A condição inicial é y(0)=1, ou seja, a solução deve passar pelo ponto (x,y)=(0,1).
Para manipular a equação será necessário dividir por expressões como 1+y e 1+x, portanto é importante notar que essas quantidades não podem ser zero no ponto onde aplicamos as divisões; no ponto inicial x=0 temos 1+x=1\neq0 e 1+y=2\neq0, então não há problema localmente.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis (colocar todos os termos em y com dy e todos os termos em x com dx). Começando de
y'=\frac{1+y}{1+x},
lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, multiplicamos ambos os lados por dx e dividimos por 1+y (válido onde 1+y\neq0) para obter:
\frac{dy}{1+y}=\frac{dx}{1+x}.
Explicação da ideia: separar variáveis significa obter uma igualdade da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx, para então integrar cada lado em sua variável. Aqui colocamos todos os termos que dependem de y junto a dy e os que dependem de x junto a dx.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{1+y}\,dy = \int \frac{1}{1+x}\,dx.
Lembrete da fórmula de integração usada: para uma variável u a integral \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C. Aplicando com u=1+y no lado esquerdo e u=1+x no lado direito,
\ln|1+y| = \ln|1+x| + C,
onde C é a constante de integração. Esta igualdade vem de integrar cada lado e relembrar que cada integral pode ter uma constante, que aqui combinamos em uma só.
Passo 4
Vamos manipular a igualdade obtida para isolar y. Primeiro usamos propriedades do logaritmo:
\ln\!\left|\frac{1+y}{1+x}\right| = C.
Exponenciando ambos os lados obtemos
\left|\frac{1+y}{1+x}\right| = e^{C}.
Chamando K=e^{C}>0 (constante positiva), podemos escrever sem o valor absoluto introduzindo uma constante A\neq0 que pode ser positiva ou negativa:
\frac{1+y}{1+x} = A,
onde A é uma constante real (não nula). Multiplicando e isolando y dá
1+y = A(1+x)\quad\Rightarrow\quad y = A(1+x)-1.
Assim obtemos a família de soluções gerais dependente da constante A.
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar A. Substituindo x=0 e y=1 em y=A(1+x)-1,
que coincide com y'(x). Logo a solução encontrada é correta.
Passo 7
Sobre o domínio da solução: a equação original não é definida em x=-1 (pois aparece 1+x no denominador), então a solução obtida através do método de separação vale em qualquer intervalo que não atravesse x=-1 e que contenha o ponto x=0. Assim um domínio natural para a solução particular é (-1,\infty), que é o maior intervalo contendo 0 onde a equação é bem definida.