(Leis da adição e multiplicação) Demonstre as seguintes leis para os números complexos, a partir das leis correspondentes para os números reais.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que as operações de soma e produto em
, definidas por
satisfazem as leis comutativas, associativas, distributivas, e possuem elementos neutro e inverso aditivo. Vamos usar as leis usuais dos reais em cada componente.
Passo 2
(Prova das leis comutativas)
Para a soma:
Para a soma:
pelo real comutativo,
e
. Logo
Para o produto:
Como
e
e também
, obtemos
Passo 3
(Prova das leis associativas)
Para a soma:
Para a soma:
e
Pelas leis associativas nos reais,
e idem para as partes imaginárias, logo
Para o produto:
Expandindo e usando associatividade e comutatividade nos reais chega-se ao mesmo par de componentes real e imaginário, logo
Passo 4
(Prova da distributiva)
Calcule
Calcule
Usando distributiva e comutativa nos reais:
Agrupando termos:
Passo 5
(Elemento neutro)
Para a soma, use :
Para a soma, use
idem
.
Para o produto, use :
Para o produto, use
Passo 6
(Elemento inverso aditivo)
Dado , o oposto é
. Então
Dado
e igualmente
.
Resposta
Demonstrou-se, a partir das leis dos reais, que em
valem: