(Leis da adição e multiplicação) Demonstre as seguintes leis para os números complexos, a partir das leis correspondentes para os números reais.
\begin{array}{cc} z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}, z_{1} z_{2}=z_{2} z_{1} & \text { (Leis comutativas) } \\\ \left(z_{1}+z_{2}\right)+z_{3}=z_{1}+\left(z_{2}+z_{3}\right), & \text { (Leis associativas) } \\\ \left(z_{1} z_{2}\right) z_{3}=z_{1}\left(z_{2} z_{3}\right) & \\\ z_{1}\left(z_{2}+z_{3}\right)=z_{1} z_{2}+z_{1} z_{3} & (\text { Leis distributivas }) \\\\ 0+z=z+0=z, & \\\ z+(-z)=(-z)+z=0, & z \cdot 1=z . \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que as operações de soma e produto em \mathbb{C}, definidas por
z_j = x_j + i y_j,\quad x_j,y_j\in\mathbb{R},
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2),
z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1),
satisfazem as leis comutativas, associativas, distributivas, e possuem elementos neutro e inverso aditivo. Vamos usar as leis usuais dos reais em cada componente.

Passo 2

(Prova das leis comutativas)
Para a soma:
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)
pelo real comutativo, x_1 + x_2 = x_2 + x_1 e y_1 + y_2 = y_2 + y_1. Logo
z_1 + z_2 = (x_2 + x_1) + i(y_2 + y_1) = z_2 + z_1.
Para o produto:
z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1).
Como x_1 x_2 = x_2 x_1 e y_1 y_2 = y_2 y_1 e também x_1 y_2 + x_2 y_1 = x_2 y_1 + x_1 y_2, obtemos
z_1 z_2 = (x_2 x_1 - y_2 y_1) + i(x_2 y_1 + x_1 y_2) = z_2 z_1.

Passo 3

(Prova das leis associativas)
Para a soma:
(z_1 + z_2) + z_3 = \bigl((x_1+x_2)+x_3\bigr) + i\bigl((y_1+y_2)+y_3\bigr)
e
z_1 + (z_2 + z_3) = x_1 + \bigl((x_2+x_3)\bigr) + i\Bigl(y_1 + (y_2+y_3)\Bigr).
Pelas leis associativas nos reais, (x_1+x_2)+x_3 = x_1+(x_2+x_3) e idem para as partes imaginárias, logo
(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3).
Para o produto:
(z_1 z_2) z_3 = \bigl((x_1 x_2 - y_1 y_2)+i(x_1 y_2 + x_2 y_1)\bigr)(x_3 + i y_3),
z_1(z_2 z_3) = (x_1 + i y_1)\bigl((x_2 x_3 - y_2 y_3)+i(x_2 y_3 + x_3 y_2)\bigr).
Expandindo e usando associatividade e comutatividade nos reais chega-se ao mesmo par de componentes real e imaginário, logo
(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3).

Passo 4

(Prova da distributiva)
Calcule
z_1 (z_2 + z_3) = (x_1 + i y_1)\bigl((x_2+x_3) + i(y_2+y_3)\bigr).
Usando distributiva e comutativa nos reais:
= (x_1(x_2+x_3) - y_1(y_2+y_3)) \;+\; i\bigl(x_1(y_2+y_3) + y_1(x_2+x_3)\bigr).
Agrupando termos:
= \bigl(x_1 x_2 - y_1 y_2 + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)\bigr) + \bigl(x_1 x_3 - y_1 y_3 + i(x_1 y_3 + y_1 x_3)\bigr),
= z_1 z_2 + z_1 z_3.

Passo 5

(Elemento neutro)
Para a soma, use 0 = 0 + i0:
0 + z = (0 + x) + i(0 + y) = x + i y = z,
idem z + 0 = z.
Para o produto, use 1 = 1 + i0:
1\cdot z = (1\cdot x - 0\cdot y) + i(1\cdot y + 0\cdot x) = x + i y = z.

Passo 6

(Elemento inverso aditivo)
Dado z = x + i y, o oposto é -z = (-x) + i(-y). Então
z + (-z) = (x + (-x)) + i(y + (-y)) = 0 + i0 = 0
e igualmente (-z)+z=0.

Resposta

Demonstrou-se, a partir das leis dos reais, que em \mathbb{C} valem:
z_1+z_2=z_2+z_1,\quad z_1z_2=z_2z_1,
(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3),\quad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3),
z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3,
0+z=z+0=z,\quad z+(-z)=(-z)+z=0,\quad 1\cdot z=z.

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