Considere z=x+i y. Encontre:
\operatorname{Im} z^{3},(\operatorname{Im} z)^{3}

Passo 1

O enunciado define z = x + i y e pede para calcular a parte imaginária de z^3 e o cubo da parte imaginária de z. Vamos usar propriedades de potências de números complexos e identificação de parte real e imaginária.

Passo 2

Para obter z^3 aplicamos o binômio de Newton a (x + i y)^3:
(x + i y)^3 = x^3 + 3 x^2 (i y) + 3 x (i y)^2 + (i y)^3
Como (i y)^2 = -y^2 e (i y)^3 = -i y^3, temos:

Passo 3

z^3 = x^3 + 3 x^2 i y - 3 x y^2 - i y^3
A parte imaginária é o coeficiente que multiplica i, ou seja 3 x^2 y - y^3. Assim,
\Im z^3 = 3 x^2 y - y^3

Passo 4

Sabendo que \Im z = y, o cubo dessa parte imaginária é
(\Im z)^3 = y^3

Resposta

\Im z^3 = 3 x^2 y - y^3 (\Im z)^3 = y^3

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