Leis de conservação
(I) Um bloco de massa m_{1}=2 \mathrm{~kg} desliza sem atrito com velocidade v_{0}= 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e colide frontalmente com outro bloco de massa m_{2}=3 \mathrm{~kg} inicialmente em repouso.
(a) Determine as velocidades finais dos blocos no caso de colisão perfeitamente elástica.
(b) Repita para o caso de colisão perfeitamente inelástica.
(c) Em cada caso, verifique a conservação da energia e do momento linear.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão frontal entre dois blocos sem atrito, de massas m_{1}=2, \mathrm{kg} e m_{2}=3, \mathrm{kg}. O primeiro vem com velocidade inicial v_{1i}=4, \mathrm{m/s} e o segundo está em repouso v_{2i}=0. Vamos usar a conservação do momento linear
m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}
e, no caso perfeitamente elástico, também a conservação da energia cinética
\tfrac12m_{1}v_{1i}^{2}+\tfrac12m_{2}v_{2i}^{2} =\tfrac12m_{1}v_{1f}^{2}+\tfrac12m_{2}v_{2f}^{2}.

Passo 2

Para colisão perfeitamente elástica em uma dimensão há fórmulas fechadas:
v_{1f} =\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i} +\frac{2\,m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2i},
v_{2f} =\frac{2\,m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i} +\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2i}.
Substituindo m_{1}=2, m_{2}=3 e v_{2i}=0:
v_{1f} =\frac{2-3}{2+3}\cdot4 =\frac{-1}{5}\cdot4 =-\tfrac{4}{5} =-0,8\\ \mathrm{m/s},
v_{2f} =\frac{2\cdot2}{5}\cdot4 =\frac{4}{5}\cdot4 =\tfrac{16}{5} =3,2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

No caso perfeitamente inelástico, os blocos grudam e seguem com velocidade comum v, dada por conservação do momento apenas:
v =\frac{m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}} =\frac{2\cdot4+3\cdot0}{5} =\frac{8}{5} =1,6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Verificação da conservação do momento e da energia em cada caso:
Colisão elástica
  • Momento inicial:
p_{i}=2\cdot4+3\cdot0=8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento final:
p_{f}=2\cdot(-0,8)+3\cdot3,2 =-1,6+9,6=8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Energia inicial:
K_{i}=\tfrac12\cdot2\cdot4^{2}=16\\ \mathrm{J}.
  • Energia final:
K_{f} =\tfrac12\cdot2\cdot(-0,8)^{2} +\tfrac12\cdot3\cdot3,2^{2} =0,64+15,36=16\\ \mathrm{J}.
Momento e energia confirmados.
Colisão inelástica
  • Momento inicial: p_{i}=8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento final:
p_{f}=(2+3)\cdot1,6=5\cdot1,6=8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Energia inicial: K_{i}=16\\ \mathrm{J}.
  • Energia final:
K_{f} =\tfrac12\,(2+3)\,1,6^{2} =\tfrac12\cdot5\cdot2,56 =6,4\\ \mathrm{J}.
O momento se conserva, mas há perda de energia cinética 16-6,4=9,6, \mathrm{J} transformada em calor, deformação etc.

Resposta

(a) v_{1f}=-0,8\\ \mathrm{m/s}, v_{2f}=3,2\\ \mathrm{m/s}.
(b) v=1,6\\ \mathrm{m/s} (ambos grudados).
(c) em (a) momento e energia cinética se conservam p=8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, K=16\\ \mathrm{J}; em (b) momento se conserva 8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, energia não K vai de 16 para 6,4\\ \mathrm{J}.

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