Leis de conservação
(II) Uma esfera de massa m é suspensa por um fio e liberada de uma altura h. Ela colide frontalmente com outra esfera idêntica em repouso.
(a) Usando conservação da energia, determine a velocidade da primeira esfera no instante imediatamente antes da colisão.
(b) Admitindo colisão elástica, determine as velocidades das esferas após o choque.
(c) Discuta a transferência de energia cinética entre as esferas.

Passo 1

O enunciado descreve duas esferas de mesma massa m. A esfera 1 é solta de uma altura h presa a um fio, ganha velocidade ao cair e colide frontalmente e elasticamente com a esfera 2 que está em repouso. O conteúdo envolve conservação de energia mecânica (para obter a velocidade antes do choque) e análise de colisão elástica entre massas iguais (para encontrar as velocidades finais e discutir a energia).

Passo 2

Para a parte (a), aplicamos conservação da energia mecânica entre o ponto de liberação (altura h) e o instante imediatamente antes da colisão (nível de referência escolhido no ponto de impacto): \text{Energia potencial inicial} = \text{Energia cinética final}.é Isto é,
m g h = \tfrac12 m v^2.
Cancelando m e resolvendo para v,
v = \sqrt{2 g h}.

Passo 3

Para a parte (b), usamos as fórmulas gerais de colisão elástica unidimensional entre duas massas m_1 e m_2 com velocidades iniciais v_{1i} e v_{2i}. No nosso caso, m_1 = m_2 = m, v_{1i}=v e v_{2i}=0. As velocidades finais são
v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}\,v_{2i},
v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,v_{2i}.
Substituindo m_1=m_2 e v_{2i}=0,
v_{1f} = 0, \quad v_{2f} = v.
Logo, imediatamente após o choque, a esfera 1 para e a esfera 2 sai com velocidade \sqrt{2gh}.

Passo 4

Para a parte (c), observamos a energia cinética antes e depois do choque. Antes do choque a energia cinética total é
K_i = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 m (2gh) = m g h.
Depois do choque, como v_{1f}=0 e v_{2f}=v, temos
K_f = \tfrac12 m v_{1f}^2 + \tfrac12 m v_{2f}^2 = 0 + \tfrac12 m (2gh) = mgh.
Portanto, toda a energia cinética originalmente na esfera 1 é transferida para a esfera 2: a transferência é de 100\%. Isso só ocorre porque as massas são iguais e o choque é perfeitamente elástico.

Resposta

(a) \displaystyle v = \sqrt{2gh}.
(b) \displaystyle v_{1f} = 0,\quad v_{2f} = \sqrt{2gh}.
(c) A energia cinética mgh da esfera 1 é totalmente transferida para a esfera 2, caracterizando transferência de 100% da energia.

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