Leis de conservação
(III) Um projétil de massa m=0,1 \mathrm{~kg} é disparado horizontalmente com velocidade v_{0}=100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} contra um bloco de massa M=2 \mathrm{~kg} inicialmente em repouso sobre superfície lisa. O projétil se incrusta no bloco, e o conjunto comprime uma mola de constante elástica k=500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
(a) Determine a velocidade do sistema imediatamente após a colisão.
(b) Calcule a máxima compressão da mola.
(c) Determine a fração de energia mecânica perdida no choque.

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão totalmente inelástica entre um projétil de massa m=0,1,kg disparado com velocidade inicial v_0=100,m/s e um bloco de massa M=2,kg em repouso sobre superfície sem atrito. Em seguida, o sistema resultante comprime uma mola de constante elástica k=500,N/m.
Conteúdo:
– Para (a) usar conservação do momento linear na colisão inelástica.
– Para (b) usar conservação de energia (cinética → energia elástica).
– Para (c) comparar energia inicial e energia após colisão para achar a fração perdida.

Passo 2

Na colisão inelástica vale conservação do momento:
m\,v_0 = (m+M)\,v
Então
v = \frac{m\,v_0}{m+M} = \frac{0,1 \times 100}{0,1 + 2} = \frac{10}{2,1} \approx 4,76\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Após a colisão, a energia cinética do conjunto vira energia elástica na mola:
\tfrac12\,(m+M)\,v^2 = \tfrac12\,k\,x^2.
Desse modo,
x = v \,\sqrt{\frac{m+M}{k}} = 4{,}76\,\sqrt{\frac{2{,}1}{500}} \approx 0{,}308\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A energia inicial do projétil é
E_{\text{inicial}} = \tfrac12\,m\,v_0^2 = \tfrac12 \times 0{,}1 \times 100^2 = 50\\ \mathrm{J},
e a energia após a colisão (cinética do conjunto) é
E_{\text{após}} = \tfrac12\,(m+M)\,v^2 = \tfrac12 \times 2{,}1 \times (4{,}76)^2 \approx 23{,}81\\ \mathrm{J}.ó
Logo, a fração de energia perdida é
\frac{E_{\text{inicial}} - E_{\text{após}}}{E_{\text{inicial}}} = \frac{50 - 23{,}81}{50} \approx 0{,}524 \quad(\text{ou }52{,}4\%\!).ó

Resposta

(a) v \approx 4{,}76\\ \mathrm{m/s}.
(b) x \approx 0{,}308\\ \mathrm{m}.
(c) Fração de energia perdida \approx 0{,}524 (ou 52{,}4\%).

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