Em relação à seção mostrada com o sistema z^{\prime} y^{\prime} (no CG da seção), determine:
a.) O momento de inércia em relação ao eixo z.
b.) O momento de inércia em relação ao eixo y.
c.) O produto de inércia.
d.) A orientação dos eixos principais ( \theta ).
e.) Os momentos principais de inércia.
f.) O momento polar de inércia.
Passo 1
O enunciado nos dá uma seção transversal circular de diâmetro 150 mm, com centro de gravidade (CG) no cruzamento dos eixos y' (vertical) e z' (horizontal). Pede-se
a) o momento de inércia em relação a z',
b) o momento de inércia em relação a y',
c) o produto de inércia I_{y'z'},
d) a orientação dos eixos principais \theta,
e) os momentos principais de inércia I_1 e I_2,
f) o momento polar de inércia J.
Para resolver vamos usar a fórmula clássica do segundo momento de área de um círculo de raio R em torno de seus diâmetros.
Passo 2
Calculamos primeiro o raio
R = \frac{150}{2} = 75\\ \text{mm}.
O momento de inércia de um círculo de raio R em torno de qualquer diâmetro é
c) O produto de inércia de um círculo em torno de eixos que passam pelo seu centro e são perpendiculares (= diâmetros) é zero:
I_{y'z'} = 0.
Passo 6
d) Como I_{y'}=I_{z'} e I_{y'z'}=0, qualquer rotação dos eixos centrais deixa as propriedades inalteradas. Logo, os eixos principais podem coincidir com y' e z' para qualquer ângulo \theta. Em particular, não há ângulo único de “eixos principais” distinto de zero; dizemos que \theta é indeterminado.
Passo 7
e) Os momentos principais de inércia são justamente os autovalores da matriz
\begin{pmatrix} I_{y'} & -I_{y'z'}\\\\ -I_{y'z'} & I_{z'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0\\\\ 0 & I \end{pmatrix},