Em relação à seção mostrada com o sistema z^{\prime} y^{\prime} (no CG da seção), determine:
a.) O momento de inércia em relação ao eixo z.
b.) O momento de inércia em relação ao eixo y.
c.) O produto de inércia.
d.) A orientação dos eixos principais ( \theta ).
e.) Os momentos principais de inércia.
f.) O momento polar de inércia.

Passo 1

O enunciado nos dá uma seção transversal circular de diâmetro 150 mm, com centro de gravidade (CG) no cruzamento dos eixos y' (vertical) e z' (horizontal). Pede-se
a) o momento de inércia em relação a z',
b) o momento de inércia em relação a y',
c) o produto de inércia I_{y'z'},
d) a orientação dos eixos principais \theta,
e) os momentos principais de inércia I_1 e I_2,
f) o momento polar de inércia J.
Para resolver vamos usar a fórmula clássica do segundo momento de área de um círculo de raio R em torno de seus diâmetros.

Passo 2

Calculamos primeiro o raio
R = \frac{150}{2} = 75\\ \text{mm}.
O momento de inércia de um círculo de raio R em torno de qualquer diâmetro é
I_{\text{diâmetro}} = \frac{\pi\,R^4}{4}.â

Passo 3

a) Em relação ao eixo z', que é um diâmetro, vale
I_{z'} = \frac{\pi\,R^4}{4} = \frac{\pi\,(75)^4}{4}\\ \text{mm}^4 \approx 2{,}48\times10^{7}\\ \text{mm}^4.

Passo 4

b) Pelo mesmo motivo de simetria (círculo), o momento em relação ao outro diâmetro y' é igual:
I_{y'} = \frac{\pi\,R^4}{4} \approx 2{,}48\times10^{7}\\ \text{mm}^4.

Passo 5

c) O produto de inércia de um círculo em torno de eixos que passam pelo seu centro e são perpendiculares (= diâmetros) é zero:
I_{y'z'} = 0.

Passo 6

d) Como I_{y'}=I_{z'} e I_{y'z'}=0, qualquer rotação dos eixos centrais deixa as propriedades inalteradas. Logo, os eixos principais podem coincidir com y' e z' para qualquer ângulo \theta. Em particular, não há ângulo único de “eixos principais” distinto de zero; dizemos que \theta é indeterminado.

Passo 7

e) Os momentos principais de inércia são justamente os autovalores da matriz
\begin{pmatrix} I_{y'} & -I_{y'z'}\\\\ -I_{y'z'} & I_{z'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0\\\\ 0 & I \end{pmatrix},
com I=\pi R^4/4. Assim,
I_1 = I_2 = \frac{\pi\,R^4}{4} \approx 2{,}48\times10^{7}\\ \text{mm}^4.

Passo 8

f) O momento polar de inércia no CG é dado por
J = I_{y'} + I_{z'} = 2\,\frac{\pi\,R^4}{4} = \frac{\pi\,R^4}{2} \approx 4{,}97\times10^{7}\\ \text{mm}^4.

Resposta

a) I_{z'} = \dfrac{\pi\,75^4}{4}\approx 2{,}48\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4
b) I_{y'} = \dfrac{\pi\,75^4}{4}\approx 2{,}48\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4
c) I_{y'z'} = 0
d) \theta indeterminado (qualquer orientação é principal)
e) I_1 = I_2 = \dfrac{\pi\,75^4}{4}\approx 2{,}48\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4
f) J = \dfrac{\pi\,75^4}{2}\approx 4{,}97\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4

Exercícios relacionados